SAYILAR

TEMEL KAVRAMLAR
RAKAM :
Sayıları ifade etmeye yarayan sembollere (i.aretlere) denir. 0,1,2,.......,9 sembolleri onluk sayma düzeninin rakamlarıdır. .,.,.,.....X....rakamları da romen rakamlarıdır.
SAYI :
Bir çoklu.u ifade edecek .ekilde,rakamların biraraya getirilmesine denir. 3,11,-27,XI,D,O,¼,-½ ,.2,.,.,tan15º,log25, 6,02 , 10²³,..... gibi ifadelerdir.
Her rakam bir sayıdır ama her sayı rakam olmayabilir.

SAYILARIN SINIFLANDIRILMASI

SAYMA SAYILARI (S) veya (¶N+) 1,2,3,4,............ DO.AL SAYILAR (¶N) 0,1,2,3,........... TAM SAYILAR (Z) ......,-2,-1,0,1,2,......... Z-U {0} U Z+ = Z RASYONEL SAYILAR (Q) Q = Z U {a . b} a.Z , b. Z-{0} REEL SAYILAR (¶R) ¶R = Rasyonel + .rrasyonel ¶R = Q U {.2,-.3,.,.,.......} KARMA.IK SAYILAR (C) C = ¶R U { .-2 , 3+2. , ...... C =Reel+Çift kuvvetleri negatif olan sayılar
S . ¶N . Z . Q . ¶R . C sırasını mutlaka bilmeliyiz.
NOT : Sıfır ne pozitif, ne de negatiftir, nötrdür.

2 ile bölünebilen yani son rakamı {0,2,4,6,8} olan sayılara Ç.FT SAYI denir. 2 ile bölünemeyen yani son rakamı {1,3,5,7,9} olan sayılara TEK SAYI denir. n.Z olmak üzere; çift sayılar (2n) tek sayılar (2n-1) veya (2n+1) ile gösterilir.
T : tek Ç : çift ise ; T±T = Ç TXT = T
T±Ç = T TXÇ = Ç
DZT = T ÇXT = Ç
Ç±Ç = Ç ÇXÇ = Ç

N.N+ için T. = T ve Ç. = Ç
ÖRNEKLER : 1) 7.3¹¹.5²².13 = a ise a tektir. 2) 7.3¹¹.5²².14 = a ise a çifttir. 3) n.Z ise 6n³+79 tektir.
2n5+12 çifttir.
n²+1 bilinemez.

4) a çift do.al sayı ise ;
a5+87 çifttir.
a4+74 tektir.
a7+3a³+5ª tektir.

5) a,b,c sayıları do.al sayı ise;
4a = 5(b+c) iken b+c çifttir.
6) n.2 ve n.N ise n! çifttir.

SORU : (3-x)7 negatif ve tek sayı ise x sayısı için ne söyleyebiliriz? ÇÖZÜM : Hangi sayıların tek kuvvetleri negatif ve tektir? Negatif ve tek sayıların. O halde; (3-x) negatif ve tektir. 3’ten kendisinden büyük bir sayı çıkarılmalı ki sonuç negatif olsun. Demek ki x pozitiftir. Ayrıca T-x =T ise x çifttir.
57
SORU : x.y.z6< 0
x .z < 0

x.
y³.z > 0 ise ;
x,y,z sayılarının i.aretlerini bulunuz.

ÇÖZÜM :

x .z < 0
x. y³.z > 0 o halde y³<0 } y<0 ve y7<0
57
x.y.z6< 0 . x5 .(-).(+) < 0 . x5 >0 . x>0
x .z < 0 . (+).z < 0 . z < 0
(x,y,z) = (+ , -, -)

ARDI.IK SAYILAR
Belli bir kurala göre ardarda gelen sayılara ardı.ık sayılar denir. Tam sayılarda n’nin ardı.ı.ı = n+1 Tek sayılarda n’nin ardı.ı.ı = n+2 1+x²+x4+x6 ‘da x²’nin ardı.ı.ı = x
ÖRNEK :
ab-a=2 c-a=4 c-b=2
a-b= -2 a-c= -4 b-c= -2

SORU : Ardı.ık 7 tane teksayının toplamı k ise ikinci sayının k cinsinden de.eri nedir?
ÇÖZÜM : Ardı.ık sayıların toplamı sayı adedine bölünürse,ortanca sayı bulunur.Yani ortanca sayı k/7 dir. Ardı.ık teksayıların aralarında 2 fark oldu.u için; ortanca ile ikinci sayı arasında fark vardır. .kinci sayı bu halde (k/7 – 4) (k/7-4) (k/7)(k/7+2)(k/7+4)(k/7+6)

ARDI.IK SAYILARIN SONLU TOPLAMLARI
Ardı.ık iki terimi arasındaki fark sabit olan sayı dizilerinin terimlerinin toplamı =
( ilk terim+son terim)x(terim sayısı)
¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ 2¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯

Terim sayısını da .uradan bulabiliriz :
Son terim – ilk terim
¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ortak fark¯ ¯ ¯ ¯ ¯ + 1

Bu iki formülü .öyle düzenleyelim:
.lk terim : m
Son terim : n
Ortak fark : k

Toplam : T
Toplam( T ) = (n + m).(n - m + k ) (Aspirin metodu)
2.k

ÖRNEK : 52+55+58+61+..........+301=?
ÇÖZÜM :

(301+52)(301-52+3) 353.252
T = ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ 2.3¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ =¯ ¯ ¯ ¯ 6¯ ¯ ¯ =14826

n n + )1
(
1+2+3+............+n =

2

.SPAT :
1+2+3+....................+(n-2)+(n-1)+n
| | |------n+1----------| | |
| |-----------n+1 ---------------| |
|-------------n+1----------------------|

Ba.tan ve sondan alınan herbir terimin toplamı yukarıda gördü.ünüz gibi (n+1) oluyor.(n+1) sayısı iki.er tane sayıdan olu.tu.undan n tane sayıdan n/2 tane (n+1) olu.abilir.n/2 tane (n+1) in toplamı da n(n+1) dir.
¯ ¯ 2¯ ¯ ¯
2+4+6+................+2n = n(n+1)

.SPAT :
2+4+6+......+2n=2(1+2+3+........+n)
(

=2. n n + )1 = n(n+1)
2
1+3+5+................+2n-1 = n² .SPAT :
1+3+5+.....................+(2n-5)+(2n-3)+(2n-1)
| | |..........2n................. | | |
| |...............2n...........................| |
|.....................2n......................................|

Yukarıda kaç tane terim oldu.unu bulursak, onun yarısı oldu.u görülmedi.inden, sayıların her birine 1 ekleyelim. Sayılara 1 eklemekle adedi de.i.mez. Sonra 2 parantezine alalım;
2 4 6 ........2n-4 2n-2 2n

2 (1 2 3 .........n-2 n-1 n )

Demek ki ; n tane sayı varmı..O halde n/2 tane 2n vardır.n/2n.2n = n2

1 ve kendisinden ba.ka pozitif böleni olmayan 1’den büyük tamsayılara asal sayı
denir.1’den büyük olup asal olmayan sayılara da bile.ik sayı denir.Asal sayılar : 2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,31,............ Unutmayalım ki ; 1 asal sayı de.ildir.En küçük asal sayı 2’dir.2’den ba.ka çift sayı
olan asal sayı yoktur.Negatif sayılar asal sayı olamaz.

ARALARINDA ASAL SAYILAR

1’den ba.ka pozitif ortak böleni olmayan sayılara denir.Di.er bir deyi.le; a ve b sayılarını a/b .eklinde yazdı.ımızda, daha fazla sadele.tiremiyorsak, a ve b sayıları aralarında asaldır denir.
ÖRNEK : 7 ile 13 , 4 ile 15 , 32 ile 65
ÖRNEK : (2x-y) ile (3x+y) sayıları aralarında asaldır.
2x - y 8
=
ise x=? y=?
3x + y 12
ÇÖZÜM : Bu iki sayı aralarında asal oldu.undan kesri en sade haline getirmeliyiz.
2x - y 2
=
Buradan 2x-y=2 ve 3x+y=3
3x + y 3 diyebiliriz.Dikkat edin ; aralarında asal demeseydi bunu yapamazdık , çünkü 2x-y=200, 3x+y=300 de olabilirdi.Neyse; 2x-y=2 5x=5 . x=1 ± 3x+y=3 x=1 ise 2.1-y=2 . y= 0 ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯

Bir tamsayının kaç tane pozitif bölenini bulmak istiyorsak , o sayıyı asal çarpanlarına
ayırıp,asal çarpanların üslerine 1 ekleyip çarpmalıyız.Mesela;
24=23.31 => (3+1)(1+1)=8
24’ün 8 tane pozitif böleni vardır.Bir sayının pozitif böleni kadar negatif böleni oldu.undan ,
pozitif bölen sayısını 2 ile çarparsak o tamsayının tüm bölenleri sayısını bulmu. oluruz.

ÖRNEK : 144=24.32 => (4+1)(2+1)=15
144’ün 15 pozitif, 15 negatif böleni vardır.Bölenlerinin ikisi (2ve3) asaldır.28 tanesi asal
de.ildir.

ÖRNEK : 1112’nin kaç tane asal olmayan böleni oldu.unu bulalım.
1112=23.1391 => (3+1)(1+1)=8 => 2.8=16
16 tane böleni var..ki tanesi (2 ve 139) asal, 14 tanesi asal de.ildir.
ÖRNEK : 64n sayısının 623 tane asal olmayan pozitif böleni var ise n=?
ÇÖZÜM : 64n=24n.34n .ki tane (2 ve 3) asal çarpanı var.Pozitif bölen sayısı 625 oluyor. (4n+1)(4n+1)=625=25.25 => 4n+1=25 => 4n=24 => n=6

FAKTÖRYEL (ÇARPANSAL)
Bir do.al sayının faktöryeli; o sayı ve ondan küçük tüm do.al sayıların (0 hariç) çarpımıdır.
n! = 1.2.3.4...................(n-2).(n-1).n
0!=1
1!=1
2!=2
3!=6
4!=24
5!=120
6!=720

ÖRNEK : 1) 100! = 100.99.98! = 9900
¯ 98!¯ ¯ ¯ ¯ 98!¯ ¯ ¯ ¯ ¯ 2) 48! + 47! = 47!.[48+1] = 47!.49 3) 12! + 10! = 10! [12.11+1] = 1330
¯ 11!+9!¯ ¯ ¯ ¯ 9! [11.10+1]¯ ¯ ¯ 111¯ ¯
ÖRNEK : 49! tek midir , çift midir?
ÇÖZÜM : 2 ve daha büyük do.al sayıların faktöryelleri çifttir , çünkü eni sonu gelip 2 ile çarpılacak.2 ile çarpılan her sayı çifttir.
49! = 49.49.47.46................5.4.3.2.1

ÖRNEK : 49! ‘in son rakamı kaçtır?
ÇÖZÜM : 5 ve daha büyük do.al sayıların faktöryellerinin son rakamı sıfırdır.Çünkü bu faktöryellerin içinde mutlaka 5 ve 2 çarpanı vardır.Yani 10’un bir katıdırlar.
ÖRNEK : 49! ‘in sondan kaç basama.ı sıfırdır?
ÇÖZÜM : .çinde kaç tane 5 çarpanı varsa , o kadar sıfır vardır.Çünkü içinde her 5 ile e.le.tirebilece.im kadar 2 var.Sayıyı devamlı 5’e bölersek, içinde kaç tane 5 çarpanı oldu.unu buluruz ; 49| 5
¯ 9¯|5 9+1 = 10
¯ 1¯ SORU : 24!’in içinde kaç tane 6 çarpanı vardır?

ÇÖZÜM : Bu sefer içinde ki 3 çarpanı adedini bulmalıyız.Çünkü 3 az, 2 fazla.Her 2’ye bir 3 bulamam, ama her 3’e bir 2 bulurum.O halde devamlı 3’e bölece.iz. 24| 3
¯ 8¯|3 8+2 = 10
¯ 2¯
SORU : 42!’in içinde kaç tane 8 çarpanı vardır?

ÇÖZÜM : 8 sayısı, 3 tane 2’nin çarpımında olu.tu.undan , 42!’in içinde kaç tane 2 çarpanı
varsa ,
onun üçte biri kadar 8 çarpanı vardır.

42| 2
¯ 21¯ |2 21+10+5+2+1= 39
¯ 10¯| 2
¯ 5¯ |2
¯ 2¯ |2

¯ 1¯
39 tane 2 çarpanı varsa, 39/3=13 tane 8 çarpanı vardır.

ÖZET: a!’in içinde kaç tane n çarpanı vardır diye sordu.u zaman ; n asalsa a’yı devamlı n’ye
bölece.im; n bile.ikse en büyük asal çarpanına devamlı bölece.im; n bir tamkare, tamküp, ...
ise a’yı devamlı n’nin en büyük asal çarpanına bölüp, çıkan sonucu, tamkareyse 2’ye, tam
küpse 3’e,....bölece.im.Yukarıda ki sorular .öyle de sorulabilir, halbuki cevabı aynıdır;2

24! =p m,p. ¶N
¯ 6m¯ ¯ m’nin en büyük de.eri kaçtır?
Çözüm aynı yani cevap yine 10.

SORU : 90.n=p2 (n,p. ¶N+) n’nin alabilece.i en küçük de.er kaçtır?
CEVAP : 90 sayısı en küçük hangi sayma sayısı ile çarpılırsa, sonuç yine ba.ka bir sayma
sayının karesi olur?Sorunun meali bu.

90=21.32.51 => 21.32.51.n=p2 Í
min n=21.51 Í n=10
SORU : 90.n=p3 (n,p. ¶N+) n’nin alabilece.i en küçük de.er kaçtır?
CEVAP : 21.32.51.n=p3 Í
min n=22.31.52 Í n=300
SORU : 90.n2=p3 (n,p. ¶N+) n’nin alabilece.i en küçük de.er kaçtır?

2
CEVAP : 22.32.52.n=p3 Í
min n2=24.34.54 Û min n=22.32.52 Í n=900 Û
SORU : 20.n7=p9 (n,p. ¶N+) n’nin alabilece.i en küçük de.er kaçtır?
7
CEVAP : 22.51.n=p9 Í
min n7=27.535 Ímin n=2.55