BASİT EŞİTSİZLİKLER VE SIRALAMA

1) x , y , a , b . ¶R olmak üzere ; x < y ˆ x ± a < y ± a
2) x < y ˆ x.a < y.a (a > 0 )
3) x < y ˆ x.a > y.a (a < 0 )
4) x < y ve a < b ˆ x + a < y + b
5) x < y ve a < b ˆ x.a < y.b
6) x < a ve a < y Í x < y
7) 0 8) a < b < 0 Í a2n-1 < b2n-1 < 0 (n . Z+ )
9) a < b < 0 Í a2n > b2n > 0 (n . Z+ )
10) 0 < x < 1 Í 0 < xn < x < 1 (n . Z+ )
11) -1 < x < 0 veya x > 1 Í xn > x (n . Z+ )
12) x < -1 Í x2n-1 < x (n . Z+ )
13) x < -1 Í x2n > x (n . Z+ )
14) x.y > 0 ise x < y ˆ 11 >
x y
15) x.y > 0 ise x < y ˆ 11 <
x y

SORU : 2ÇÖZÜM : 2SORU
: 2
-5< -y< -1
-3 < x-y < 2

SORU : 2
ise ? < -2x+3y < ? -1ÇÖZÜM
:-6 < -2x < -4
-3 < 3y < 15

-9 < -2x+3y < 11

ÖRNEKLER : 2 < x < 5
2 < x < 5
Í 4 < 2x < 10 2 < x < 5
25 25 25 25 2 < x < 5
125 -5 < x < -2
125 8

2 < x < 5
Í 4 < x2 <
-5 < x < -2
Í 4 < x2 <
-2 < x < 5
Í 0 . x2 <
-5 < x < 2
Í 0 . x2 <

2 < x < 5
Í 8 < x3 <
-2 < x < 5
Í -8 < x3 <
-5 < x < 2
Í -125 Í Í Í Í
-5 < -x < -2 -10 < -2x < -4

<

<
-125 < x3 < -8
SORU
: 2x+3y = -2 e.itli.i veriliyor. -2ÇÖZÜM
: 3y = -2 -2x
- 2x - 2

1.yol
y =
3

-4 < - 2x - 2< 2 Í -4 < y < 333

x =- 2 - 3 y Í y =- 2x - 2
23
2.yol

2

3

2

3
-2 < x < 5 Í -10 < -2x < 4 Í -12 < -2x-2 < 2 Í x= -2 için y = x = 5 için y = -4 Í o halde - 4 < y < SORU : -1-2ÇÖZÜM :0 . a2 < 16

-3 . -b < 2

-3 . a2-b < 18

KURAL
: Toplamları sabit olan sayıların çarpımları en büyük de.ere sayılar
ÖRNEK
: a + b = 20 (a,b . N) max(a.b) + min(a.b) = ? ÇÖZÜM : max(a.b) = 10.10 = 100
min(a.b)
= 20 . 0 = 0 max(a.b) + min(a.b) = 100 + 0 = 100

2 birbirine e.it oldu.unda ula.ır.En küçük de.ere de sayılar birbirinden mümkün oldu.unca uzak oldu.unda ula.ır. SORU : a = 23 – sinx ise a.b’nin en büyük de.eri kaçtır?
b = sinx -7
ÇÖZÜM : a + b = 23 – sinx + sinx – 7

a + b = 16 Í max(a.b) = 8.8 = 64

SORU : 80! = p.8n (n,p . N ) Bu ko.ulu sa.layan en büyük n = ?
ÇÖZÜM : Sorunun meali .u : 80!’in içinde kaç tane 8 çarpanı vardır?O halde 2
çarpanlarını bulalım.Onu 3’e bölelim.
80| 2

¯ 40¯ |2 40+20+10+5+2+1= 78 tane 2 çarpanı var.
¯ 20¯ | 2 26 tane de 8 çarpanı olur.
¯ 10¯ |2
¯ 5¯ |2
¯ 2¯ |_2_

1
SORU : x < x2 < |x|e.itsizli.i hangi aralıkta sa.lanır?

ÇÖZÜM : x < |x| Í x < 0 x < x2 Í x < 0 ve x > 1 2 < |x| Í -1 < x <1 Bu 3 aralı.ın kesi.imi : (-1,0)
SORU : 24! + 25! = m.4p + 27y (m,p,y . N) ise max(p+y) = ?
ÇÖZÜM : 24! + 25! sayısının içinde kaç tane 4 çarpanı varsa p en çok o kadar olur,
kaç tane 27 çarpanı varsa da y en çok o kadar olur.
24! + 25! = 24!.( 1+25) = 26.24!
24|2

24 |_3_ 24!’in içinde 22 tane 2 çarpanı
¯ 12¯ |2 8 |_3_ varmı..26’da da 1 tane var.Toplam
¯ 6¯ |_2_ 2 23 tane 2 çarpanı var.O da 11 tane
3 |2 4 çarpanı yapar. maxp=11

¯ 1¯ 10 tanede 3 çarpanı var.3 tane 27 çarpanı yapar. maxy = 3 max(p+y) = 11+ 3 = 14
SORU : (2n+1)+(2n+3)+(2n+5)+.........+(4n+5) toplamı n cinsinden kaçtır?
ÇÖZÜM : 2n+1 2n+3 2n+5

a tane
4
+ 2n+2n+5
a.2n+1+3+5+........+2n+5
2 ( n + )5 -1 + 1 = n+3 = a
Terim sayısı =
2
(n+3).2n+n2+6n+9 Í 2n2+6n+n2+6n+9 Í 3n2+6n+9
ÇÖZÜMLÜ ÖRNEKLER SORU 1 : 1 ,0 + 2 ,0 + 3 ,0 + ........... + 8 ,1 = ? 9 ,0 +0 ,1 +1 ,1 ........ +8 ,1 = ? 9 10 17

+
+ 1 +
+ .......... +

99 9
18
17.
= 1 + 2 + 3 + ....... + 17

+ 1 = 2 + 1 = 18
99
SORU 2 : 7+9+11+.................+a = 161 Í a = ?

ÇÖZÜM : 1+3+5+7+9+.......+a = 161+1+3+5 a = 2n-1 ise n2=169 Í n = 13 Í a=2.13-1=25
SORU 3 : 127!-1 sayısının sondan kaç basama.ı 9’dur?
ÇÖZÜM : 127! sayısının sonunda kaç sıfır varsa , 127!-1 sayısının sonunda da o kadar 9 vardır.
127|5 ¯ 25¯ |5 25+5+1 = 31 tane ¯ 5¯ |_5_
1

SORU 4 : a,b,c . Z+ (a+2b+3c).(b-c)=23 ise a+b+c toplamının en küçük de.eri nedir?
ÇÖZÜM : 23 asal sayı oldu.undan a+2b+3c=23 ve b-c=1 dir.
b=1+c oldu.undan a+2b+3c=23 Í a+2(1+c)+3c=23 a+5c = 21