İŞLEM

TanÛm: A boş olmayan bir küme olsun. A X A kümesinden A kümesine tanÛmlÛ her fonksiyona, A kümesinde tanÛmlÛ ikili işlem ya da A kümesine tanÛmlÛ işlem denir.
İşlemi. ,.,* gibisembollerle gösteririz.
Örnek;x ve y R eelsayÛlarÛ için,x*y = x+y+2xy
işlemitanÛmlanÛyor. ( 4,2 ) sÛralÛikilisine karşÛ gelen sayÛkaçtÛr?

Ç özüm;

x*y = x+y+2xy işleminde x = 4 ve y = 2 yazacağÛz.
4*2 = 4+2+2.4.2 = 24 bulunur.
B urada işlemin tanÛmÛna göre 4 ile 2 yi işleme aldÛğÛmÛzda 24 çÛkÛyor. B u

sonucu daha önce gördüğümüz dört işlemden hiçbirinde bulamayÛz.

4 + 2 = 8,4 -2 = 2,4.2 = 8,4:2 = 2

D aha önce öğrendiğimiz dört temel işlemi kullanarak birçok yeni işlemler üretebiliriz. Örneğin
b= a.a2 + b2
x.y = xy -2x x.y = ( x / y ) + y4 işlemleribunlardan bazÛlarÛdÛr.

N eden F arklÛİşlemlere G erek D uyulmuştur?

Örneğin biliyoruz ki bir futbol takÛmÛ galibiyete 3, beraberliğe 1 puan
almaktadÛr. B ir futboltakÛmÛnÛn puanÛnÛ
g.b = 3g + b işlemiyle bulabiliriz.
B ir takÛm 8 galibiyet,5 beraberlik almÛş ise puanÛ :
8.5= 3.8 + 5 = 29 olur.
S onuç olarak dört işlem yardÛmÛyla tanÛmladÛğÛmÛz bu yeni işlemler birkaç

hesabÛ içinde barÛndÛrÛr ve kolaylÛk sağlar. S özün özü gelişen teknoloji, artan ihtiyaçlar ve çağÛmÛzÛn sürat çağÛ olmasÛ nedeniyle matematik bu ihtiyaçlara cevap verebilecek işlemlerive enstrümanlarÛ geliştirmektedir.
_____İŞ LE M İN ÖZ E LLİK LE R İ______

B İR K Ü M E N İN B İR İŞ LE M E G ÖR E K A PA LILIĞ I
. işlemi boş olmayan bir A kümesinde tanÛmlÛ bir işlem olsun. A ’ nÛn her x ve y elemanÛ için , x.y işleminin sonucu daima A kümesinin bir elemanÛ olursa A kümesi. işlemine göre kapalÛdÛr denir.
Örnek;x ve y iki tamsayÛdÛr. * işlemi x*y=xx+3y olarak tanÛmlanÛyor. * işlemitamsayÛlar kümesinde kapalÛmÛdÛr?
Ç özüm; * işleminin kapalÛ olmasÛ için tam sayÛlar kümesinden bütün elemanlarÛ işleme aldÛğÛmÛzda sonuçlarÛn tümü tamsayÛ olmalÛdÛr.
İşlemiikiparçada düşünelim: x*y =xx+3y
H erhangiikix ve y tamsayÛsÛ alalÛm.

x
xbir tamsayÛnÛn kendi kuvvetidir. Örneğin 11, 22, 33, 44... gibi sayÛlarÛ
hesaplarsak sonuçlarÛ hep tamsayÛ çÛkar.
3y ifadesibir tamsayÛnÛn 3 ile çarpÛlacağÛ anlamÛndadÛr. H er tamsayÛnÛn 3
ile çarpÛmÛ yine tamsayÛdÛr.

x*y = xx+3y İşleminin ikiparçasÛ da tamsayÛdÛr.
B u parçalarÛn toplamÛ yine tamsayÛ olur. O halde işleme aldÛğÛmÛz tüm
tamsayÛlar sonuç olarak yine tamsayÛ veriyor.
İşlem tam sayÛlar kümesinde kapalÛdÛr.
Örnek;y = xy -2x işlemidoğalsayÛlar kümesinde kapalÛmÛdÛr?
Ç özüm; işleminin kapalÛ olmasÛ için doğal sayÛlar kümesinden bütün

elemanlarÛ işleme aldÛğÛmÛzda sonuçlarÛn tümü doğalsayÛ olmalÛdÛr. O ysa ;
x = 5 ve y = 4 alÛrsak
y = xy -2x işlemi
4 = 5.4 -2.5 =5 -10 bulunur.
işlemidoğalsayÛlar kümesinde -10 doğalsayÛ olmadÛğÛndan kapalÛ değildir.

____Örnekler____
1.
K arÛştÛrma işlemirenkler kümesinde kapalÛmÛdÛr?

Ç özüm; Renkler kümesinden iki renk alÛp karÛştÛralÛm, karÛşÛm sonucu yine bir renk olur. K arÛştÛrma işlemirenkler kümesinde kapalÛdÛr.

2.
K arÛştÛrma işlemisÛvÛlar kümesinde kapalÛmÛdÛr?
Ç özüm; SÛvÛlar kümesinden iki sÛvÛ alÛp karÛştÛrdÛğÛmÛzda, karÛşÛm sonucu yine bir sÛvÛ olur mu? B azen olmaz. İki sÛvÛnÛn karÛşÛmÛnÛn katÛ olduğu da vardÛr. K arÛştÛrma işlemisÛvÛlar kümesinde kapalÛ değildir.

Ç özüm; H ayvanlar kümesinin üreme işlemine göre kapalÛ olmasÛ gayet doğaldÛr. Ç ünkü üreme sonuçlarÛ daima hayvanlar kümesinden bir eleman yani bir hayvan olur, hiçbir zaman iki hayvanÛn üremesinden farklÛ bir şey mesela bitkiçÛkmaz.
________D E Ğ İŞ M E ÖZ E LLİĞ İ________
A boş olmayan bir küme ve * işlemi A kümesinde tanÛmlÛ bir işlem olsun. A ’nÛn bütün x ve y elemanlarÛ için
x*y = y*x oluyorsa yani işlemin sÛrasÛ değişse de sonuç değişmiyor ise * işlemiA kümesinde değişmelidir denir.
22
Örnek;x ve y reelsayÛdÛr. x*y = x-y
şeklinde tanÛmlanan * işlemideğişmelimidir?
Ç özüm;İşlemde x = 3 ve y = 6 koyalÛm.
x*y = x2-y2= 32-62 =-27
y*x = y2-x2 = 62-32 = 27
O halde * işlemideğişmelideğildir.
_____Örnekler_____
1. K arÛştÛrma işlemirenkler kümesinde değişmelimidir?
Ç özüm; Renkler kümesinden iki renk sözgelimi mavi ile sarÛ alÛp karÛştÛralÛm, karÛşÛm sonucu yeşil olur. E ğer önce sarÛ sonra mavi alÛp karÛştÛrÛrsak yine yeşil çÛkar. B u hep böyledir. R enkleri karÛştÛrÛrken sÛranÛn önemiyoktur. K arÛştÛrma işlemirenkler kümesinde değişmelidir.

Ç özüm; SÛvÛlar kümesinden iki sÛvÛ alÛp karÛştÛrdÛğÛmÛzda, sÛranÛn önemi olmaz. Y ani sirke ile limon, limon ile sirkenin aynÛdÛr. K arÛştÛrma işlemi sÛvÛlar kümesinde değişmelidir.
_______B İR LE Ş M E ÖZ E LLİĞ İ_______
TA N IM ; işlemiA ’da tanÛmlÛ bir .A boş olmayan bir küme işlem olsun. A kümesinden alÛnan üç x,y ve z elemanÛ z.y).y)= (x.(x.x
işlemi.Ş artÛnÛ sağlÛyorsa birleşme özeliğine sahiptir. KÛsaca üç elemanÛn işleminde işlemin sÛrasÛ değişebiliyorsa birleşme özeliği vardÛr. Örnek;TamsayÛlar y = x+4y.kümesinde x
işlemibirleşme özelliğine sahip midir?.şeklinde tanÛmlanan
Ç özüm;
z = x+4y+4z.z = (x+4y).y).(x (y+4z) = x+y+4z.z)= x.(y.x S onuçlar farklÛ olduğundan işlemin birleşme özeliğiyoktur.
B İR İM (E TK İS İZ ) E LE M A N _________
TA N IM ;A boş olmayan bir küme ve . ifadesiA ’da tanÛmlÛ bir işlem olsun ve her x elemanÛ için A kümesinde
x.e=e.x = x özelliğinisağlayan bir tek e elemanÛ varsa bu elemana . işleminin etkisiz veya birim elemanÛ denir.
Örnek;TamsayÛlar kümesinde x*y = x+y-3 şeklinde tanÛmlanmÛş * işleminin
etkisiz (birim)elemanÛnÛ bulalÛm.
Ç özüm;* işleminin etkisiz elemanÛna e diyelim,

x* e = e*x = x olmalÛdÛr.
x* e = x+ e -3 = x eşitliğiniçözersek e =3 bulunur.
e *x = e +x-3 = x eşitliğiniçözersek e =3 bulunur.
O halde * işleminin etkisiz elemanÛ 3 ’tür.

Ters (İnvers) E leman_____
TA N IM ;A boş olmayan bir küme ve * işlemi A ’da tanÛmlÛbir işlem olsun. B u işlemin etkisiz elemanÛ eolsun. A ’ nÛn her x elemanÛ için,
x*x-1= x-1*x = e olacak şekilde A kümesinde bir tane x-1 elemanÛ varsa x-1 , x in * işlemine göre tersi(inversi)dir.
Örnek;x.y = x+y-3 işlemitanÛmlanÛyor. B u işleme göre,4 ‘ün tersikaçtÛr?
Ç özüm; 4’ ün tersini bulmak için önce . işleminin etkisiz elemanÛnÛ
bulmalÛyÛz. İşlemin değişme özeliği varsa sadece x.e = x şartÛnÛ yazmak
yeterlidir.
x.e = x+e-3 = x,e = -x+x+3 =3 yani

e = 3 bulunur. Ş imditers elemanÛ bulalÛm:

4.4-1 = 4-1.4 = 3 olacak.
Önce 4-1.4 = 4-1+ 4 -3 = 3

-1 = 3-1=2
S onra 4.4-1= 4 + 4-1 -3 = 3

-1= 3-1=2
4 ’ ün tersi4-1=2 bulunur.
Örnek;A şağÛdakitabloda verilen @ işleminin özelikleriniaraştÛralÛm:
Ç özüm;

i. İşlem kapalÛdÛr. Ç ünkü işlemin sonuçlarÛ tanÛm kümesinin
elemanlarÛdÛr. Y ani0 ,1,2,3 sayÛlarÛdÛr.

ii. İşlemin değişme özeliğivardÛr. Ç ünkü tablo esas köşegene göre simetriktir.
iii.İşlemin birim elemanÛ sÛralÛ satÛr ve sütunun kesiştiğielemandÛr. Y aniburada 1 dir.

iv.2 ve 0 ’Ûn tersiyani2-1ve 0-1kaçtÛr?
•
2 nin tersinibulmak için tabloda 2 nin bulunduğu satÛrda birim elemanÛ yaniburada 1 ’ iararÛz. 2 nin satÛrÛnda 1 yoktur. 2 nin tersi yoktur.

•
0 Ûn tersinibulmak için tabloda 0 Ûn bulunduğu satÛrda birim elemanÛ yaniburada 1 ’ iararÛz. 0 Ûn satÛrÛnda 1 ibulup yukarÛçÛkarsak tersini buluruz. 0 Ûn tersi0 dÛr.
i. 2@ (3@ 1) = ? işleminin sonucu kaçtÛr?
Önce parantez içindekiişlemiyapalÛm: Tablonun satÛrÛnda önce 3’ü buluruz. S onra sütunda 1’ibuluruz. İkisinin kesiştiğisayÛişlemin sonucudur. (3@ 1)= 3 dür. Ş imdi2@ 3 işleminiyapalÛm. A ynÛşekilde 2@ 3 = 0 bulunur. İşlemin sonucu 2@ (3@ 1) = 0

bulunur.
. DaĞÛlma ÖzelliĞi

. a, b, c . Ain
ç
i,
b. c)=(.(s

a*(a*b)a*c)ie, İlnnİlzidodanda.Úma öel
.iarr
* iemii.iemiüerne sllzivdÚ. a. b)* c =(.(s
(a*c)b*c)ie, İlzida.danda.Úma öel
.iarr
• iemiiİlnniemiüerne slzivdÚ.
İlnn. iemiüernoda.danda.Úma öel
.i
• iemiiİlzide;hem slan, hem de slzilnn. iemiüernlzivdÚ.
vara * iemiiİsİlzide da.Úma öel
.iarr
uanEliYtemanÖzel
.i
. x. Ainlç
iry vara y ye .i
lnnyuan
çi, x.iy =y.x=y oacakbimde bisİemiiteli.
emanÚdenr
sİr

lnöe Akümesyuanelzinahit.
y . Aie,. iemie gritemanöel
.ie spi* Ytemanntsyotrerilemanyuanel

uanelÚeriku. Fakattsomayanherelteman lr
de.idi.
C. TABLO ĞLE TANIMLANMIğ ĞğLEMLER
idİ
la.ÚiabllanmlİosnA={a, b, c, d}kümesne*¶iemiaİdaktoie tÚanmÚlu.

iouuuklgçstnnlgçsÚna c
r
. b*c nnsncubulnren, baİanÚüuuda b, baİanÚatÚduu. BulÚit.ibögeman, b*c nnsncuu. Buna grbulnrnarnkesİiledekielioudröe, b
* c =a dÚ.
r
r
lgçsÚnlgçstnnemanarnsnçarnn. BaİanÚatÚdakive baİanÚüuudakiellÚoulÚÚgrdü.üksÚie ailemanyosiİln
öülÚmda Akümesntomayanelka Akümes* iemie grÚröe kapaldÚ.
oulÚmÚöegene grir
isİlnnde.imeöe.i
. Snçarks, kİöe smetkie, * iemiiİzl
idÚ.
varr
ououlÚmÚda baİanÚüuuulgçsÚnn
r
. Tablnnsnçarksnlgçstnnnve baİanÚatÚÚöülüuuatÚimiemanekiiemandÚ.
grdü.üstnnve sÚnkesİrindekieltszelr
. Ytemanhangiellİ
liere gri, snçkendini
uanelemana ieme grsisnousie eİt lrnninablnnsnçarksna aynÚellİatrve
ou. Buuçi, tououlÚmÚdemandanouansÚüuienrlntnelr
rstnbelli. BuuanyuaemandÚ.
D. MATEMATĞKSĞSTEMLER
Ú
1. Tanm
lrkme omaküerİ
lanmlosn
A, boİomayanbiülze, * iemiAda tÚÚlu.
(, *)iisAklie matiiti.
inematkssem denr

2. Grpu
A. . omaküeridanml* iemiaİdakidötkİl
lze, Akümesne tÚÚİla.Úrouu sÚra, Akümes* iemie grrgutra.lyosiİlnöe birpu.
i. A, * iemie grÚrİ
lnöe kapaldÚ.
zidİlme öel
.iarr

ii. Aüerne * iemiir
lnnbieİzivdÚ.
zidİietizemanvdÚ.

iii. Aüerne * iemiir
lnnbim (ksi)elÚarr
zidİ

lnöe herelÚeriarr
iv. Aüerne *iemie gremanntsvdÚ.
Aüerne tÚÚİ
lnnde.ime öel
.ide vara (,*)ssemidezidanml*iemiiİzisAit
A. TANIM HerangibiidenAkümesnanmlokinriilmhrAkümesnie tÚananherfnsyoa bilİe
i.
denrlze, AxAkümesnie tÚananherfnsyoa
AÍBomaküeridenBkümesnanmlokinilİesİei.
kiiilm veya kÚaca ilm denr
İerismgellötirĞeml;+ , œ , :, x, . ,o,* , ., «gbiiere gseril.
B. ĞğLEMĞN ÖZELLĞKLERĞ
idİ
lertÚanmÚlu. Buna gra.ÚziAkümesne . ve . iemlianmlİosnöe, aİdaki7öel
.i icelineyelm.
lÚe.i
1. KapaÚkÖzl
il
ç. a, b . Aina.b niouiirelsi.iemie
insncuAkümesnnbiemanÚie, AkümesİlngrÚröe kapaldÚ.
2. De.imeÖzl
i
İe.i
ç. a, b . Ainsİlnnde.ime öel
.iarr
i, a. b =b. a ie, .iemiiİzivdÚ.
remeÖzl
i
3. Bilİe.i
çlnnbieİzivdÚ.
. a, b, c . Aina. (.a b).c ie,. iemiir
ib. c)=(sİlme öel
.iarr
rm (Etszee.i4. Biikii)ElmanÖzl
i
. x. AinsİiemanÚdenr
çi, x. e =e .x=xie, e ye .iemiikslnnetizeli.

sİiemanöel
.ie sahit.
lnöe Akümesrr
e . Aie,. iemie gribim elzinpi
ree.i5. TesElmanÖzl
i
İ.iemiiksiemanÚe osn
lnnetizellu. . a . Ainlçirb vara b elÚa iemie
çi, a. b =b. a =e oacakbimde bisemannİlnöe a nntsi.
grÚeridenrÚerib ie genel
ke b =aœ1 bimidötir
a nntssilçl.
ine gserib . Aie,. xİr
lnöe Akümestselzinahit.
siemie grieremanöel
.ie spiriemanntssie eİt
i.
* Bim elÚerikendinir
ie eİtoanherelri

ssiemanomayabir* Terikendinilemanbim elll.
6. Da.ÚmaÖzl
i
le.i
. a, b, c . Ain
çi,
b. c)=(.(s
a*(a*b)a*c)ie,
İlnnİlzidodanda.Úma öel
.iarr
* iemii.iemiüerne sllzivdÚ.
a. b)* c =(.(s
(a*c)b*c)ie,
İlnniemiüerne slzivdÚ.
* iemiiİlzida.danda.Úma öel
.iarr
İ
lnn. iemiüernoda.danda.Úma öel
.i
*iemiiİlzide;hem slan, hem de slzilnn. iemiüernlzivdÚ.
vara * iemiiİsİlzide da.Úma öel
.iarr
. Yuaee.itnElmanÖzl
i
. x. Ainlç
iry vara y ye .i
lnnyuan
çi, x.iy =y.x=y oacakbimde bisİemiiteli.
emanÚdenr
sİr

lnöe Akümesyuanelzinahit.
y . Aie,. iemie gritemanöel
.ie spiYtemanntsyotrerilemanyuanel
uanelÚeriku. Fakattsomayanherelteman
lr

de.idi.
TABLO ĞLE TANIMLANMIğ ĞğLEMLER
idİla.Úiabllanmlİosn
A={a, b, c, d}kümesne*¶iemiaİdaktoie tÚanmÚlu.

iouuuklgçstnnlgçsÚna cr
. b*c nnsncubulnren, baİanÚüuuda b, baİanÚatÚduu. BulÚit.ibögeman, b *c nn
bulnrnarnkesİiledekieli. sncuu. Buna grr
oudröe, b*c =a dÚ.
r

lgçsÚnlgçstnnemanarnsnçarnn. BaİanÚatÚdakive baİanÚüuudakiellÚoulÚÚgrdü.üksÚie ailemanyosiİln
öülÚmda Akümesntomayanelka Akümes* iemie grÚr
öe kapaldÚ.
oulÚmÚöegene grir

isİlnnde.imeöe.i
. Snçarks, kİöe smetkie, * iemiiİzl
idÚ.
varrououlÚmÚda baİanÚüuuulgçsÚnnr
. Tablnnsnçarksnlgçstnnnve baİanÚatÚÚöülüuuatÚimiemanekiiemandÚ.
grdü.üstnnve sÚnkesİ
rindekieltszelr. Ytemanhangiellİ
liere gri, snçkendini
uanelemana ieme grsisnousie eİt lrnninablnnsnçarksna aynÚellİatrve
ou. Buuçi, tououlÚmÚdemandanouansÚüuienrlntnelr
rstnbelli. BuuanyuaemandÚ.
D. MATEMATĞKSĞSTEMLER Ú
1. Tanm
lrkme omaküerİ
lanmlosnA, boİomayanbiülze, * iemiAda tÚÚlu. (, *)iis
Aklie matiiti.
inematkssem denr
2. Grp
u
A. . omaküeridanml* iemiaİdakidötkİl
lze, Akümesne tÚÚİla.Úrouu sÚra, Akümes* iemie grrgutr
a.lyosiİlnöe birpu.

v. A, * iemie grÚrİ
lnöe kapaldÚ.
zidİlme öel
.iarr

vi. Aüerne * iemiir
lnnbieİzivdÚ.
zidİietizemanvdÚ.

vii. Aüerne * iemiir
lnnbim (ksi)elÚarr
zidİ

lnöe herelÚeriarr
viii. Aüerne *iemie gremanntsvdÚ.
Aüerne tÚÚİ
lnnde.ime öel
.ide vara (,*)ssemizidanml*iemiiİzisAit
İm elur
de.iigrupt. . H al
ka
lze, Akümeszidanmlİlera.Ú
A. . omaküeriüerne tÚÚD ve*iemliaİdakiüç kİla.lyosAitrhaladÚ.
ouusÚra (, ., *)ssemibikr
i. (itİirpu.
A, D)ssemide.imelgutr
ii. Akümes*iemie grÚriİ
lnöe kapaldÚ.
İ

lnnD iemiüernlzivdÚ.
iii. *iemiiİlzide da.Úma öel
.iarr
İ
lnnde.ime öel
.ide vara (itİm elkadÚ.
. * iemiiİzisA, D, *)ssemide.iihalr
İietizemanÚda vara (
. * iemiiide bim (ks
lnnAkümesnri)elsA, D, *) itnrika denr
ssemie bim hali.
A LIŞ TIR M A LA R
1.
x@ y = x2y+2y işlemidoğalsayÛlar kümesinde tanÛmlanÛyor. 2@ y = 6 ise y =?

2.
a.b = a / b-4 ve x ¤ y = 3x + yx işlemleriveriliyor. 3.(-4¤2 )= ?

3.
x.y = 2xy + x2 + y2işleminin birim elemanÛ varsa kaçtÛr?

4.
x ve y reelsayÛlar kümesinin elemanÛdÛr. x*y = x+y+5xy işlemi tanÛmlanÛyor.
a) * işlemideğişmelimidir?

b) * işlemine göre etkisiz eleman nedir?
c) * işlemine göre 4 ’ün tersikaçtÛr?
d) * işlemine göre hangireelsayÛnÛn tersibulunamaz?

5. R eelsayÛlar kümesinde x& y = 2x+2y+xy şeklinde tanÛmlanan & işleminde hangielemanÛn tersiyoktur?
6 . R ‘de tanÛmlÛ x*y = 2x-y işlemiiçin (2*3)*a = 0 ise a kaçtÛr?

7 . R -’de tanÛmlanan ,
8. x
Ûr?
9 . İnsanlar kümesinde konuşma işlemideğişmelimidir?

10 . R enkler kümesinde karÛştÛrma işleminin birleşme özeliğivar mÛdÛr? B u işlemin birim elemanÛ var mÛdÛr?