POLİN OM LAR

A.TANIM
n bir do.al sayÚ ve a0,a1,a2,... ,an œ 1,an birer gerç
el sayÚ olmak üzere, P(n œ 1
x)=a0+ a1x + a2x2+ ... + an œ 1x+anxn
biçadelere x de.iİel (sayÚlÚ n.
imindeki ifkenine ba.lÚ, gerçreel) katdereceden polnom (ok t
içerimli)denir.
B.TEM EL KAVRAM LAR
P(n œ 1
x)= a0 + a1x + a2x2 + ... + an œ 1x+anxn olmak üzere,
erimlerinin kat

. a0,a1,a2,... ,anœ1,an in her birine polinomun tsayÚlarÚ denir.
2 n œ 1
. a0,a1x,a2x,... ,anœ1x,anxn in her birine polinomun t
erimleri denir. erimlerinden biri olan a2x2 ti olan 2 ye
. Polinomun teriminde x in kuvvetbutesi denir.
erimin derecİuerimler içesi en büyük olan t
. Polinomu olutran terisinde derecerimin kat,erimin derec
sayÚsÚna polinomun baİ katsayÚsÚbutesine de polinomun esi denir ve der[p(x)]ile gst
derecöerilir. kene ba.lÚ olmayan terimi denir.
. De.iİerime polinomun sabittx)polinomuna sÚf
. a0=a1=a2=... =an=anœ1=0 ise,P(Úr polinomu Úfesi tdenir. SÚr polinomunun derecanÚmsÚzdÚr.
. a0 . 0 ve a1 =a2 =a3 =... an œ 1 =an =0 ise,P(
x)polinomuna sabit esi sÚf
polinom denir. Sabitpolinomunun derecÚrdÚr. onksiyondur. Fakather f
Her polinom bir fonksiyon polinom olmayabilir. onksiyonlarda yapÚlan iİBuna göre,flemler polinomlarda da yapÚlÚr.
Örnek:

polinomu 5.derecedendir
Örnek :

polinomu 8. derecedendir. Burada oldu.u gibi 1’den fazla de.iİken varsa terimi oluİturan de.iİkenlerin üslerinin toplamına bakılır.

teriminin derecesi : 5+3=8

teriminin derecesi : 4+2=6
teriminin derecesi : 2+5=7 3 teriminin derecesi : 0 oldu.u için polinomun derecesi 8 olur. Polinomun katsayılar toplamı: Polinomun katsayılar toplamını bulmak için de.iİkenlere "1" verilir.

katsayılar toplamı: P(1)=1-3+2-4=-4

katsayılar toplamı P(1,1)=3-2+1-3=-1 ’dir.
Polinomun sabit terimi: Polinomun sabit terimini bulmak
için de.iİkenlere"0" verilir.
sabit terimi P(0)=-4

sabit terimi P(0)=-3 ’ tür.
Not : Sabit: terimin derecesi "0" dır Not : Polinomun derecesi ile iİlemlerde ve sorularda üslü ifadelerdeki bilgiler ıİı.ında düİünülmelidir.

polinomları verilsin

Büyük derece belirleyicidir)

oldu.una göre
C.ÇOK DE¾ĞğKENLĞPOLĞNOM LAR
P(
x,y)=3xy2 œ 2x2y œ x + 1 biçadelere iki de.iİ
imindeki ifkenli polinomlar denir. Bu polinomda aynÚ erimdeki de.iİkenlerin üsleri ttoplamÚndan en büyük olanÚna polinomun derecesi denir.
D.POLĞNOM LARDA EğĞTLĞK
AynÚ derecitderecerimlerinin kateli en az iki polinomun eİeli tsayÚlarÚ itise bupolinomlara eİiiardenir.
birbirine eİtpolnom l. P(sayÚlarÚ t1)dir.
x)polinomunun katoplamÚ P(. P(erim P(x)polinomunda sabitt0)dÚr.
Herhangi bir polinomda; katsayÚlar toplamÚ bulunurken o polinomda
de.iİkenler yerine 1 yazÚlÚr. Sabit terim bulunurken o polinomda
de.iİkenler yerine 0 (sÚfÚr)yazÚlÚr.
P(ax + b)polinomunun;katsayÚlarÚ toplamÚ

P(erimi P(
a + b)ve sabittb)dir. . P(
x)polinomunun; tderecerimlerinin katoplamÚ:Çifeli tsayÚlarÚ t

Tek derecerimlerinin katoplamÚ:eli tsayÚlarÚ t

E.POLĞNOM LARDA ĞğLEM LER 1 .Toplam a ve ÇÚ
karm a
P(
x)=anxn + an œ 1xn œ 1 + an œ 2xn œ 2 + ... Q(
x)=bnxn + bn œ 1xn œ 1 + bn œ 2xn œ 2 + ... olmak üzere,
x)+ Q(an + bn)an œ 1 + bnœ1)
P(x)=(xn + (xn œ 1 + ... x)œ Q(an œ bn)an œ 1 œ bnœ1)
P(x)=(xn + (xn œ 1 + ... olur.
2.Çarpm a
ĞarpÚmÚ,birisinin her bir terimi ile
ki polinomun çeriminin di.erinin her bir tayrÚ ayrÚ çerimlerin t
arpÚmlarÚndan elde edilen toplamÚna eİit
ir.
3.Böl
m e
P(]. der [x)x). 0 olmak üzere,
der [x)Q(]ve Q(

P(
x):Bölünen polinom Q(
x):Bölen polinom B(
x):Bölüm polinom K(
x):Kalan polinomdur.

x)=Q(x)+ K(
. P(x). B(x) K(]< der [x). der [x)Q(] . K(x)polinomuQ(am bölünür.
x)=0 ise,P(x)polinomuna t. der [x)Q(]+ der [x)
P(]=der [x)B(] lemi, sayÚlarda bölme iİimde
Polinomlarda bölme iİlemine benzer biçyapÚlÚr.
Bunun için;
1.
Bölünen ve bölen polinomlar x in azalan kuvvet

lerine göre sÚralanÚr.

2.
Bölünen polinom soldan ilk terimine

erimi,bölen polinomun ilk tbölünür. tn t

3.
Bulunan bu bölüm,bölen polinomun büüe-rimleri ile çarpÚlarak, aynÚ derecerimler altaltgelec
eli ta ek biçimde bölünen polinomun alt
Úna yazÚlÚr.
ç

4.
Bulunan sonu,bölünen polinomdan çÚkarÚlÚr. Fark polinomuna da aynÚ iİ

lem uygulanÚr. lemlere, kalan polinomun derec

5.
YukarÚdaki iİesi bölen polinomun esinden küüaya kadar devam edilir.
derecçk olunc
F.KALAN PO LĞN O M UN BULUN M ASI
lemiyle ya da aİemden biri Kalan polinomu,klasik bölme iİa.Údaki 3 yöntile bulabiliriz.
1 .Bölen BirinciD ereceden Ğse
Bir polinomun ax + b ile bölümünden kalanÚ bulmak iç
in,polinomda
•
P(b)dir.

•
P(
de.iİken yerine
yazÚlÚr. x)in x œ b ile bölümünden kalan P(mx + n)nin ax + b ile bölümünden kalan

2.Bölen Çarpanlara AyrÚlÚ
yorsa
arpanlara ayrÚlÚyorsa,her çÚra eİlenir. Bulunan kökler Bölen çarpan sÚfitpolinomda yazÚlarak kalan bulunur.

x)polinomunun a(x œ cP(x œ b). ()ye bölümünden kalan mx + n ve bölüm polinom Q(
x)ise, P(x œ b). (). Q(
x)=a(x œ cx)+ mx + n olur.
b)=mb + n ... (

P(1) c2)
P()= mc+ n ... (1)eİli.i ile (itak çzmünden m ve n bulunur.
(it2)eİli.inin ortöüesi n ise kalan polinomun derecazla (
Bölen polinomun derecesi en fn œ 1) dir.
3.Bölen ÇarpanlarÚna AyrÚlam Ú
yorsa
Bölen ça.Údaki 2 yönt
arpanlarÚna ayrÚlamÚyorsa aİem sÚrasÚyla uygulanarak kalan polinom bulunur.
1 ) Bölen polinom sÚfiteli de.iİit
Úra eİlenerek en büyük dereckenin eİi bulunur.
2) Bulunan ifade bölünen polinomda yazÚlÚr.
•
P(

x)polinomunun ax2 + bx + cile bölümünden kalanÚ bulmak için

•
P(
x)polinomunda x2 yerine yazÚlÚr. 4.P(x) Polinom u (ax + b)n Ğle Tam Bölünüyorsa,(
n . N+)

P(
x)=axn + bxm + d ise, PÚ(
x)=a . nxnœ1 + b . mxmœ1 + 0 PÚÚ(m œ 2dir.
n œ 1)m œ1). xx)=a . n . (xn œ 2+ b . m(P(x œ a)(

x)in (x œ b)ile bölümünden kalan
x)=(

K(x œ a)k2+ k1olur.
G.BASĞT KESĞRLERE AYIRM A
cd,e,fA,Bbirer reel (erça,b,,gel)sayÚ olmak üzere,

eİli.inde AyÚ bulmak iç
itin,AnÚn paydasÚnÚn kökübulunur.

itÚlarak elde edilen
Bulunan bude.er eİli.in sol yanÚnda AnÚn paydasÚ at

de yazÚlÚr. lemler BiçAynÚ iİin de yapÚlÚr.

H .D ERECE ĞLE ĞLGĞLĞ ĞğLEM LER
m > n olmak üzere, der[x)
P(]=m der[x)
Q(]= n olsun. Buna göre,
1.
der[x)± Q(]=m t

P(x)ir. P(x)

2.
der[x). Q(]=m + n dir.

x)in Q(x)ise,der[x)

3.
P(x)ile bölümünden elde edilen bölüm B(B(]=

m œ n dir.
in der[x)
4.
k . N+içPk(]=k . m dir.

der[kx)P(]=m,k . 0 dÚr.