BBBB....BBBB–––OOOO....EEEE.
...
OOOO....EEEE....KKKK....KKKKKKKKAAAAVVVVRRRRAAAAMMMMI
III
.ki veya daha fazla sayıyı birlikte tam olarak bölebilen en büyük sayıya bu sayıların ortak bölenlerinin en büyü.ü yani OBEB denir.
.ki veya daha fazla sayıya birlikte bölünebilen en küçük pozitif tamsayıya bu sayıların ortak katlarının en küçü.ü yani OKEK denir.
a < b olmak üzere ; OBEB(a,b) . a < b . OKEK(a,b)
1.
a . b olmak üzere OBEB(a,b) . a . b . OKEK( a,b)

2.
a ile b aralarında asal ise OBEB(a,b)=1 OKEK(a,b) = a . b dir.

3.
a.b= OBEB . OKEK (a,b)
ac (,
4. OKEK ( , )= Okek a c)
b d Obeb b d
( , )
ac (,

5. OBEB ( , )= Obeb ad bc)
( ,
b d Okek b d )
ÖRNEK : 12 ve 16 sayılarının OBEB ve OKEK lerini bulunuz?
ÇÖZÜM : .lk önce pozitif bölenlerini yazalım, oradan bakıp daha iyi anlayalım.
12’nin pozitif bölenleri : 1,2,3,4,6,12
16’nın pozitif bölenleri : 1, 2 , 4, 8 , 16

12’yi ve 16’yı tam birlikte tam bölen en büyük sayı 4 oldu.undan OBEB 4’tür.Kısa çözümüde
.öyle :
12 16 | 2*
6 8 | 2* Her ikisinede bölünebilenlere
3 4 | 2 * koyup sonra *’lıları çarparak
3 2 | 2 buluyoruz.
3 1 | 3 OKEK de asal çarpanlarına ayırdı.ımızda
1 | sa.da çıkan rakamların çarpımıdır.

OKEK(12,16) = 2.2.2.2.3 = 48 12’nin katları = 12,24,36,48,60,72,84,96,......... 16’nın katları = 16, 32 , 48 ,64 , 80 , 96 ,..........
Hem 12’nin hem de 16’nın katı olan en küçük sayı 48’dir.

KURAL : a ve b do.al sayılarının çarpımı, a ve b’nin OBEB’i ile OKEK’inin çarpımına eİittir.
ÖRNEK : 12.16 = 48.4 Í 192 = 192 KURAL : Aralarında asal sayıların OKEK’i, bu iki sayının OBEB’i 1 oldu.undan, bu iki sayının çarpımıdır.
ÖRNEK : 5 ile 7’nin OKEK’i = 5.7 = 35 SORU : Boyutları 2,3,4 br olan dikdörtgenler prizması .eklindeki tu.laların en az kaç tanesi yanyana, altalta, üstüste konularak bir küp elde edilebilir?
ÇÖZÜM :

Kübün tüm kenarları birbirine e.it oldu.undan , kübün bir kenarı hem 2’ye, hem 3’e, hem 4’e bölünebilmeli. Mümkün oldu.unca az tu.la kullanmak istiyorsam, küp te mümkün oldu.unca küçük olmalı yani bir kenarı 2’ye 3’e 4’e bölünebilen en küçük sayı (yani OKEK’i) olmalı.
OKEK(2,3,4)=12 Kübün hacmini,tu.lanın hacmine bölersem,kaç tu.la gerekti.ini bulurum. Vküp = 12 .12 .12 = 6.4.3 = 144 ¯ ¯ Vtu.la ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ 2.3.4¯ ¯ ¯
SORU : Boyutları 20,25,30 br olan dikdörtgenler prizmasını, mümkün olan en büyük küplere ayırmak istiyorum.Kaç küp olu.turabilirim?
ÇÖZÜM : Küpler mümkün oldu.unca büyük olmalıymı..Kübün bir kenarı hem 20’yi, hem 25’i, hem 30’u tan bölmeli ve tam bölen en büyük sayı olmalı.Yani OBEB’i. OBEB(20,25,30) = 5
Vprizma = 20.25.30 = 4.5.6 = 120 ¯ ¯ Vküp ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ 5.5.5¯ ¯
SORU : x|2 x|3 x|4 Bu ko.ulu sa.layan -¯ ¯ ¯ -¯ ¯ ¯ -¯ ¯ ¯ en küçük tamsayı ¯ 1¯ ¯ ¯ 1¯ ¯ ¯ 1¯ ¯ kaçtır?
ÇÖZÜM : 2’ye, 3’e, 4’e bölündü.ünde kalan vermeyen en küçük sayıyı (yani OKEK’lerini)
bulalım.OKEK’e kalanı (yani 1’i) eklersek, olu.an sayı 2’ye de, 3’e de, 4’e de bölündü.ünde 1
kalanını veren en küçük sayı olur.
OKEK (2,3,4) = 12 Í 12 + 1 = 13
SORU : x | 2 x | 3 x | 4 Bu ko.ulu sa.layan
- ¯ ¯ ¯ -¯ ¯ ¯ - ¯ ¯ ¯ en küçük tamsayı
¯ 1¯ ¯ ¯ 2¯ ¯ ¯ 3¯ ¯ kaçtır?

ÇÖZÜM : Dikkat ederseniz burada da kalanların hepsi bölenlerden 1 eksik.O zaman
OKEK’ten 1 çıkartırsak, hepsinde 1 eksik kalan verir.
OKEK (2,3,4) = 12 Í 12 -1 = 11

SORU : x|3 x|5 x|7 Bu ko.ulu sa.layan -¯ ¯ ¯ -¯ ¯ ¯ -¯ ¯ ¯ en küçük tamsayı ¯ 1¯ ¯ ¯ 4¯ ¯ ¯ 2¯ ¯ kaçtır?
ÇÖZÜM : Bu soru biraz farklı.Çünkü ne kalanlar e.it, ne de kalanlarla bölenler arasında ki fark e.it..öyle yapaca.ız :
x = 3a + 1 = 5b + 4 = 7c + 2 Bu e.itli.in her bölümüne öyle bir sayı ekleyece.iz ki, (e.itlik bozulmaz) o sayı hem 3’e hem 5’e hem 7’ye tam bölünecek.O sayı denenerek bulunur.Ben denedim.*26*
x + 26 = 3a +27 = 5b + 30 = 7c + 28
x + 26 = OKEK (3,5,7) = 105
x + 26 = 105 Í x = 79

KURAL : a/b ve c/d kesirlerinin OBEB ve OKEK’i İöyle bulunur :
OBEB(a , c)= OBEB(ad , bc)
¯ b¯ ¯ d¯ ¯ OKEK(b,d)¯ ¯ ¯ ¯

OKEK(a , c)= OKEK(a, c)
¯ b¯ ¯ d¯ ¯ OBEB (b,d) ¯ ¯ ¯ ¯

SORU : 6/5 ve 12/7 kesirlerinin OBEB ve OKEK’ini bulunuz? ÇÖZÜM : OBEB ( 6 , 12 ) = OBEB (42,60) = 6 ¯ 5¯ ¯ 7¯ ¯ OKEK (5,7) ¯ ¯ ¯ 35¯
OKEK ( 6 , 12 ) = OKEK (6,12) = 12 = 12
¯ 5¯ ¯ 7¯ ¯ OBEB (5,7) ¯ ¯ ¯ 1¯

SORU : 9/5 , 12/7 , 15/11 sayıları ile bölündü.ünde sonucu tam sayı çıkan en küçük do.al sayı kaçtır?
ÇÖZÜM : O sayıya x diyelim.
x . Z Í 5x/9 . Z
¯ 9/5¯
x . Z Í 7x/12 . Z
¯ 12/7¯
x . Z Í 11x/15 . Z
¯ 15/11¯
x sayısı hem 9’a, hem 12’ye, hem de 15’e tam olarak bölünmeli kibu 3 ifade de tamsayı olsun. OKEK (9,12,15) = 180 = 180 ¯ OBEB (5,7,11)¯ ¯ ¯ 1¯ ¯
SORU : 80 ve 120 sayılarının ortak bölenleri kaç tanedir?
ÇÖZÜM : OBEB’inin kaç tane böleni varsa o kadardır. OBEB(80,120) = 40 = 23.51 Í 2.(3+1)(1+1) = 16 tane
ALIğTIRMALAR

1.
Ortak katlarının en küçü.ü 96 olan farklı iki do.al sayının toplamı 96 en az m ;en çok n ise m+n=? C: 179

2.
Ortak katlarının en küçü.ü 90 olan birbirinden farklı üç do.al sayının toplamı en çok kaç olabilir.? C:165

3.
x ile y aralarında asal iki pozitif tam sayıdır. Okek(x,y)+Obeb(x,y)= 57 ise x+y=?

4.
x ile y ardı.ık do.al sayılardır. Okek(x,y)+Obeb(x,y) = 133 oldu.una göre x+y=?

5.
a ile b ardı.ık tek do.al sayılardır. Okek(x,y) -Obeb(x,y)= 98 a+b=?

6.
m ile n ardı.ık çift sayılardır. Okek(m,n)+2.Obeb(m,n) = 184 ise m+n=?

7.
a, b ve c sayıları 2 , 3 , 4 ile orantılıdır. Okek (a,b,c) = 192 oldu.una göre Obeb (a,b,c) = ?

8.
x ve y 90 dan farklı do.al sayılardır. Okek ( x,y ) = 90 Oldu.una göre Obeb ( x,y) =?

9.
24,36 ve x sayılarının ortak katlarının en küçü.ü 720 oldu.una göre x en az kaç olabilir.?

10.
Okek (16 , 20 , x )= 160 ise x=?

11.
Ortak bölenlerinin en büyü.ü 5 olan iki do.al sayının çarpımı 300 oldu.una göre bu sayıların toplamı en az kaçtır.?

12.
Ortak bölenlerinin en büyü.ü 8 ve Ortak katlarının en küçü.ü 168 olan kaç farklı pozitif tam sayı ikilisi vardır.?

13.
x ve y pozitif tam sayılar dır. Obeb(x,y)= 12 ve Okek (x,y) = 240 .se kaç farklı ( x,y) ikilisi vardır.?

14.
x ve y aralarında asal sayılardır. 16

Okek (x,y) = 312 ve
= 41 - y
x
Oldu.una göre x kaçtır.?
15.
x,y ve z sayıları 2 , 3 ve 4 ile ters orantılıdır. Okek(x,y)+Obeb(x,y) = 130 ise x=?

16.
a< 227

Obeb (a,192) = 32
Oldu.una göre a nın alabilece.i pozitif tam sayı de.erleri kaçtır.?
C:416

17.Okek (20,x) = 1260 Obeb (20,x) = 10 ise x=?
C: 630
ALIğTIRMA 2
1.
Kenar uzunlukları 12 br ve 18 br olan fayanslar kare .eklindeki odanın zeminine dö.enecektir.En az kaç fayans gerekir.?

2.
Kenar uzunlukları x br ve 20 br olan dikdörtgen biçiminde odanın zeminine e.it alanlı kare .eklinde en az 20 tane fayans dö.ene bilmektedir. X en az kaç olur.?
C:4
3.
12,15ve20cmolantu.lalardan kaç tane kullanarak hacmi en az içi dolu küp olu.turulur.?

4.
Kenar uzunlukları 36, 48 ve x br olan dikdörtgen prizması .eklindeki odanın içine e.it hacimli küp .eklinde en az 240 tane kutu yerle.tirilebiliyor.x en az kaçtır.?
C:30
5.
A varilinde 30 ltzeytin ya.ı B varilinde 42 lt süt C varilinde 66 lt su vardır. Bu varildeki sıvılar karı.tırılmadan e.it hacimli .i.elere doldurulacaktır.en az kaç .i.e gerekir.?

6.
Kenar uzunlukları 96 ve 42 br olan arsanın çevresine a.aç dikilecektir.Kö.elerde a.aç olacak .ekilde en az kaç a.aç gerekir.?
C:46 7. Kenar uzunlukları 33 br ve 27 br olan arsanın çevresine ve içine e.it aralıklı fidan dikilecektir. Kö.elere fidan gelecekse en az kaç fidan gerekir.?

C: 120
8. Bir araba yarı.ında dairesel bir pist etrafında yarı.an araçtan birincisi 25 dakikada ikincisi 30 dak üçüncüsü 35 dak da turunu tamamlamaktadır.aynı anda aynı yönde harekete ba.layan arabalar tekrar bulu.tukları zaman yava. olan kaç tur atmı.tır?
C:30
245
9. , , saat arayla çalan üç zil 10:00 da çalarsa tekrar üçü birden tekrar çalar.?
35 7