PERM Ü TASYON

SAYMANIN TEMEL KURALLARI
Toplama Kuralı : Sonlu ve ayrık kümelerin eleman sayılarının toplamı, bu kümelerin birleİimlerinin eleman sayısına eİittir. Mesela, sonlu ve ayrık iki küme A ve B olsun.
s(A)= m , s(B)= n ve A ile B’nin kesiİimi boİ küme ise birleİimin eleman sayısı
s(A) + s(B)= m+ n’ dir.
O halde ayrık iki iİlemden biri m yolla di.eri n yolla yapılabiliyorsa bu iİlemlerden biri veya di.eri m + n yolla yapılabilir.
Örnek: 5 bay ve 3 bayan arasından 1 bay veya 1 bayan kaç yolla seçilebilir? (ya bir bay veya bir bayan seçilecek).
Çözüm: 5 bay arasından 1 bay 5 de.iİik İekilde yani 5 yolla, 3 bayan arasından 1 bayan 3 yolla seçilebilir. Buna göre 5 bay ile 3 bayan arasından 1 bay veya 1 bayan 5 + 3 = 8 yolla seçilebilir.
Çarpma Kuralı: n bir sayma sayısı olmak üzere a1, a2, a3, ....., an ile gösterilen n tane nesne için ( a1 , a2 )’ ye sıralı ikili, ( a1 , a2 , a3 )’e sıralı üçlü ... ( a1 , a2 , a3 , ... , an )’e sıralı n’li denir. Sıralı ikililerin kümesini A2 , Sıralı üçlülerin kümesini A3 , Sıralı dörtlülerin kümesini A4 .... İeklinde gösterelim.
A1 , A2 , A3 , ... , Ar kümelerinin elemanlarının sayısı n1 , n2 , n3 , ... , nr olsun. Bu durumda s ( A1.A2.A3... Ar )= s(A1 ). s(A2 ). s(A3 )... s(Ar ) = n1.n2.n3 ... nr olur.
Yukarıdaki genel kuralı iki iİlem için açıklıyalım : iki iİlemden biri m yolla yapılabiliyorsa ve ilk iİlem bu m yoldan birisiyle yapıldıktan sonra ikinci iİlem n yolla yapılabiliyorsa bu iki iİlem birlikte m.n yolla yapılabilir.
Örnek: 5 bay ve 3 bayan arasından1 bay ve 1 bayan kaç yolla seçilebilir? (hem bir bay hem de bir bayan seçilecek)
Çözüm: 5 Bay arasından 1 bay 5 de.iİik İekilde yani 5 yolla, 3 bayan arasından 1 bayan 3 de.iİik İekilde yani 3 yolla seçilebilir. Yukarıda açıkladı.ımız kurala göre 5 bay ve 3 bayan arasından 1 bay ve 1 bayan 5.3 =15 yolla seçilebilir.
ÖRNEKLER:
1.
15 bir sınıfta bir baİkan ve bir baİkan yardımcısı 15.14 yolla seçilir.

2.
A kentinden B kentine 5 farklı yol B kentinden C kentine 6 farklı yol vardır.Gidilen
yoldan dönülmemek üzere kaç farklı İekilde gidilip dönülebilir.?
3.
A={1,2,3,4,5} kümesinin elemanları ile 3 basamaklı
4.

a) Kaç farklı sayı yazılabilir.?
b) Rakamları farklı kaç sayı yazılabilir.?
c) Rakamları farklı kaç çift sayı yazılabilir.?
d) Çift ile baİlayıp çiftle biten Rakamları farklı kaç sayı yazılabilir.?
e) 300 den büyük rakamları farklı kaç sayı yazılabilir.?
f) 300 den büyük 500 den küçük rakamları farklı kaç sayı yazılabilir.?

5.
A={0,1,2,3,4,5,6} kümesinin elemanları ile 3 basamaklı rakamları farklı
a) Kaç farklı sayı yazılabilir.?
b) Kaç farklı çift sayı yazılabilir.?
c) Kaç farklı tek sayı yazılabilir.?
6.
A={3,4,5,6,7,8} kümesinin elemanları ile 4000 ile 6000 arasında rakamları
farklı kaç tek do.al sayı yazılabilir?
7.
A={0,2,4,6,7,8} kümesinin elemanları ile rakamları farklı 3 basamaklı 600 den
büyük kaç çift do.al sayı yazılabilir.?
8.
A={0,1,2,3,4,5,6} kümesinin elemanları ile rakamları farklı 240 ile 600 arasında
a) Kaç farklı Do.al sayı yazılabilir.?
b) Kaç farklı tek do.al sayı yazılabilir.?
c) Kaç farklı çift do.al sayı yazılabilir.?
9.
20 soruluk bir test te ardıİık aynı cevap yoktur.cevap anahtarı kaç farklı olabilir.?
FAKTÖRĞYEL
Tanım: 1’den n’e kadar olan tamsayıların çarpımına "n faktöriyle" denir ve n! ğeklinde
gösterilir.
1.2.3.....n = n!
0!=1
1!=1
2!=1.2 = 2
3!=1.2.3.= 6
4!=1.2.3.4 = 24

Uyarı : n! = n.(n-1)! = n.(n-1).(n-2)!
Yani 5! = 5.4.3.2.1 = 5.4! = 5.4.3! = 5.4.3.2!
9! = 9.8! = 9.8.7! = 9.8.7.6! = 9.8.7.5.5! gibi.
Örnek: 15! / 13! =?
Çözüm : 15 ve 13 arasında 15 sayısı 13 den büyüktür. Daima büyük olanı küçü.üne

benzetiriz. 15! = 15.14. 13! olur.
15! / 13! = 15.14. 13! / 13! = 15.14 bulunur.
Örnek: n! / (n -2 )! =?
Çözüm : n ve n -2 arasında n sayısı n-2 den büyüktür. Daima büyük olanı küçü.üne

benzetiriz. n! = n.(n -1 ). (n -2 )! olur.
n! / (n -2 )! = n.(n -1 ).(n -2 )! /(n -2 )! = n.(n -1 ) bulunur.

Kural : n tane eİyayı n tane yere n! kadar farklı İekilde dizeriz.

Örnek: 6 tane ampul 6 tane yere kaç farklı İekilde takılabilir?

Çözüm : Açıklayıcı olması için ampüllere A , B , C ve D , yerlere 1 , 2 , 3 ve 4 diyelim. A ’
dan baİlayarak ampülleri takalım. A ampülü 4 yerden birine takılabilir. Yani A ampülünün takılması için 4 yol var. A ampülünü taktıktan sonra 3 ampül ve üç yer kalır. B ampülü 3 yerden birine takılabilir. Yani B ampülünün takılması için 3 yol var. A ve B ampülünü taktıktan sonra 2 ampül ve 2 yer kalır. C ampülü 2 yerden birine takılabilir. Yani C ampülünün takılması için 2 yol var. A , B ve C ampülünü taktıktan sonra 1 ampül ve 1 yer kalır. D ampülü 1 yere takılabilir. Yani D ampülünün takılması için 1 yol var. Çarpım kuralına göre bu 4 ampül yolların çarpımı kadar farklı İekilde takılabilir.

Yani 4.3.2.1 = 4! = 24 de.iİik takma İekli vardır.
Ödev : Aİa.ıdaki sadeleİtirmeleri yapınız.
1.
(n-2)! (n+1)! / n!. (n -1)!

2.
n! . (n-1)!/ (n -2)! .(n+ 1)!

3.
(n+ 2)! (n+1)! (n-2)! / n! (n-3)! (n+2)!
Örnek: Farklı, 5 matematik ve 3 fizik kitabı bir rafa yan yana dizilecektir.
a.
Kaç farklı İekilde dizilebilir?

b.
Aynı dersin kitapları yan yana gelmek İartıyla bu 8 kitap kaç farklı İekilde dizilebilir?

c.
Fizik kitapları yan yana gelmek İartı ile bu 8 kitap kaç farklı İekilde dizilebilir?

d.
Belli iki kitap yan yana gelmek İartı ile bu 8 kitap kaç farklı İekilde dizilebilir?

e.
Kenarlara fizik kitabı gelmek İartı ile bu 8 kitap kaç farklı İekilde dizilebilir?
Çözüm :
a) Rafa kitapları soldan sa.a do.ru dizdi.imizi düİünelim 1. sıraya dizilecek kitap 8 farklı kitap koyabiliriz yani 8 yolla, 1.sıraya 1 kitap dizildikten sonra 2.sıraya dizilecek kitap di.er 7 kitap arasından biri olaca.ı için 7 yolla, 1.sıraya 1 kitap ve 2.sıraya 1 kitap dizildikten sonra 3. sıraya dizilecek kitap di.er 6 kitap arasından biri olaca.ı için 6 yolla,... bu İekilde her seferinde 1 kitap azalır. 8.sıraya dizilecek kitap 1 tane kaldı.ından 1 yolla belirlenir.Buna göre, bu 8 kitabın bir rafa yanyana diziliİi 8.7.6. 5. 4.
3. 2. .1= 8! yolla belirlenebilir.
b.
Matematik kitapları 1 kitap, Fizik kitapları da 1 kitap gibi düİünülürse, bunların yanyana diziliİi 2! yolla olur. (matematik kitapları sa.da fizik kitapları solda veya matematik kitapları solda fizik kitapları sa.da ). 5 Matematik kitabının kendi arasındaki diziliİi 5! yolla olur. 3 fizik kitabının kendi arasındaki diziliİi 3! yolla olur.Buna göre matematik kitapları ve fizik kitapları, aynı dersin kitapları yanyana gelmek İartıyla 2!.3!.5! yolla dizilebilir.

c.
Fizik kitapları yanyana gelince 1 kitap gibi olur. Fizik kitaplarını 1 kitap gibi düİünelim. Bu durumda 6 kitap varmıİ gibi düİünülebilir. Bu 6 kitabın 6! farklı diziliİi vardır. Fizik kitapları kendi arasındaki diziliİi 3! yolla , 5 matematik ve 3 fizik kitabı, fizik kitapları yanyana gelmek İartıyla 6!.3! yolla dizilebilir.

d.
8 kitabın belli ikisi A ve B olsun. A ve B’yi bir kitap gibi düİünelim. Bu durumda 7 kitap oldu.u düİünülebilir. Bunların yanyana diziliİi 7! yolla yapılabilir. A ve B kitaplarının kendi aralarındaki diziliİi 2! oldu.u için, 8 kitap; belli ikisi yan yana gelmek İartıyla 7!.2! yolla dizilebilir.

e) 1. Sıraya ve 8. Sıraya fizik kitabı 2.,3., ....., 7. sıralara di.er 6 kitap dizilirse uygun diziliİ gerçekleİir. Buna göre, 1. sıraya gelecek fizik kitabı 3 fizik kitabı arasında 3 yolla, (1.sıraya gelecek fizik kitabı belirlendikten sonra) 8. sıraya gelecek fizik kitabı di.er iki fizik kitabı arasından 2 yolla belirlenebilir. Di.er 6 kitabın diziliİi 6! Yolla belirlenebilir. O halde 8 kitap kenarlara fizik kitabı gelmek İartıyla, 3.2.6! =3!.6! yolla dizilebilir.

PERMÜTASYON :

n,r . N+o.ü r . n olsun. N tane elemanın r li sıralanı.ına n in r li permütasyonu denir. n!
1. P(n, r) =
(n - r !
)
2.
P(n,r)= n.(n-1) .(n-2) .(n-r+1)

3.
P(n,0)=1

4.
P(n,1)=n , P(n,n-1)= n !

SORULAR

1.
A={1,2,3} kümesinin elemanlarının 3 elemanlı permütasyonları
(1,2,3) , (1,3,2), (3,2,1), (3,1,2), (2,3,1), (2,1,3) dır.
2.
n tane elemanın 2 li sıralanı.ı 56 oldu.una göre n =? (2.özellik)
3.
P(n+2)+18=P(n+3,2) ise n=? (2.özellik)
4.
2. P(n,4)= P(n+1,2). P(n-1,2) ise n=? (2.özellik)
5.
7 turistin 4 ü yan yana kaç farklı foto.raf çektirirler.?
6.
5 erkek 3 kız bir sıraya yan yana oturacaklardır.
a) kaç farklı .ekilde otururlar.?
b) Kızlar yan yana olacaksa kaç farklı .ekilde otururlar.?
c) Kızlar yan yana gelmemek üzere kaç farklı .ekilde otururlar.?
a) a harfi bulunur.
b) d bulunmaz.
c) a harfi bulunur , d bulunmaz.
d) a veya c bulunur.
8.
5 kız 4 erkek bir sıra boyunca yan yana oturacaklardır. a) Kızlar ve erkekler bir birlerinden ayrılmayacaksa b) Bir kız bir erkek .eklinde

kaç farklı .ekilde otururlar.?

9.
4 farklı matematik 3 farklı fizik 5 farklı kimya kitabı bir rafa dizilecektir. a) kaç farklı dizilirler.? b) aynı dersin kitapları yan yana gelecek .ekilde kaç farklı dizilirler.? c) Kenarlarda kimya kitabı olacak .ekilde kaç farklı dizilirler.?

10.
Bir sınıftaki 6 ö.renci foto.raf çektirecektir.Küs iki ö.renci uçlarda olmak .artı ile kaç farklı .ekilde foto.raf çektirebilirler.

11.
A={1,2,3,4,5,6,7,8} sayıları ile 8 basamaklı herhangi iki tek sayı yan yana gelmemek üzere rakamları farklı kaç sayı yazılabilir.?

DAĞRESEL PERMÜTAYON
n tane farklı elemanın bir çember üzerindeki sıralanmasına dairesel permütasyon denir. n elemanın biri sabit kabul edildi.inden (n-1)! farklı sıralama vardır.

SORULAR:

1.
4 Doktor, 5 hem.ire, 3 hastabakıcı bir yuvarlak masa etrafında toplantı yapacaklardır. a) kaç farklı .ekilde oturabilirler.? b) Doktorlar birlikte oturacaklarsa c) Aynı bran.lar birlikte oturacaklarsa d) Hem.ireler beraber oturmamak üzere Kaç farklı .ekilde oturabilirler.?

2.
4 evli çift e.ler yan yana olmak üzere bir yuvarlak masa etrafında kaç farklı .ekilde oturabilirler.?

3.
4 kız 4 erkek bir yuvarlak masa etrafına 2 kız arasına bir erkek gelecek .ekilde kaç farklı oturabilirler.?

4.
4 anahtarlık yuvarlak bir anahtarlı.a kaç farklı .ekilde sıralanabilirler.?
TEKRARLI PERMÜTASYON

n tane farklı elemanın n1 tanesi aynı n2 tanesi aynı nr tanesi aynı ise n1+ n2+ nr = n tane eleman n! n !.n 2 !....n !
1r
farklı .ekilde sıralanabilirler.

SORULAR:

1.
4 mavi , 3 kırmızı , 5 ye.il kalem yan yana kaç farklı .ekilde sıralanabilirler.?

2.
KAPKARA kelimesindeki harflerle 7 harfli a) kaç farklı kelime yazılabilir.? b) kaçında K harfinin sa.ında A vardır.?

3.
445555 rakamlarıyla 6 basamaklı a) kaç tane sayı yazılabilir.? b) Kaç tane 5 ile ba.layıp 5 ile biten sayı yazılabilir.? c) kaç tanesinde 4 ler yan yana gelebilir.?

4.
88222661 sayısının rakamları ile her 8 in sa.ında 2 olmak .artıyla 8 basamaklı kaç sayı yazılabilir.?

5.
4344004 rakamlarıyla 7 basamaklı kaç sayı yazılabilir.?

6.
100233344 sayısının rakamlarının yerleri de.i.tirilerek 9 basamaklı kaç çift sayı yazılabilir.?