KARTEZYEN ÇARPIM -BAĞ IN TI

Kartezyen çarpım :
Ğlk elemanı birinci kümeden, ikinci elemanı ikinci kümeden gelen ikililerin oluİturdu.u
kümeye denir.
Örnek 1: A = {1,2,3} ve B = {a,b} ise

AxB = {(1,a),(1,b),(2,a),(2,b),(3,a),(3,b)} olur.
BxA = {(a,1),(b,1),(a,2),(b,2),(a,3),(b,3)} İeklinde yazılır. Örnekte görüldü.ü gibi

(kartezyen çarpım iİleminde de.iİme özelli.i yoktur).
Yine örnekte görüldü.ü gibi A kümesinin 3 , B kümesinin 2 elemanı vardır. AxB kümesinin eleman sayısı ise 6 ‘dır. Böyle olması tesadüf de.ildir.
Çünkü kartezyen çarpım kümesinin eleman sayısı ; kartezyen çarpımı oluİturan kümelerin eleman sayılarının çarpımına eİittir.
Aynı sebeple BxA kümesinin eleman sayısı da 6 ‘dır. Yani kartezyen çarpım iİleminde de.iİme özelli.i olmamasına karİılık her kümenin eleman sayıları eİittir ( Denk kümeler ).

( kartezyen çarpım iİleminde de.iİme özelli.i yoktur )
s(AxB) = s(BxA) = s(A) s(B) ( Denk kümeler )
Ba.ıntı: Kartezyen çarpım kümesinin herhangi bir alt kümesine denir. E.er ba.ıntı, AxB ‘nin alt kümesi ise o ba.ıntıya A’dan B’ye bir ba.ıntı denir. Buradaki birinci küme, ba.ıntının tanım kümesi ; ikinci küme ise ba.ıntının de.er kümesi olarak adlandırılır.
"n" elemanlı bir kümenin tüm ba.ıntılarının sayısı 2n oldu.undan dolayı A’dan B’ye yazılabilecek tüm ba.ıntıların sayısı da 2s(A)s(B)’ dir.
Örnek 2: s(A) = 5 ve s(B) = 4 ise A’dan B’ye yazılabilecek tüm ba.ıntıların sayısı 220 olur. Tabii ki aynı İekilde B’den A’ya yazılabilecek tüm ba.ıntıların sayısı da 220 ‘dir.

Örnek-3: A = {1,2,3} ve B = {1,2,a,b} olmak üzere A’dan B’ye bir ba.ıntı tanımlayalım: . ={(1,1),(2,1),(2,2),(3,a) } ise grafik ile gösterimi İöyle olur :

. : A . B olmak üzere tanımlanmıİ ba.ıntının tanım kümesi A,
de.er kümesi B, görüntü kümesi ise C’dir.
NOT : . : A . B (. A’dan B’ye bir ba.ıntıdır diye okunur)
C= . (A) ={. (1),. (2),. (3)} = {1,2,a} kümesine görüntü kümesi denir ve her zaman de.er kümesi ile aynı anlama gelmeyebilir.
Örnek 4: s(A) = 4 oldu.una göre A’ dan A’ya yazılabilecek ba.ıntıların kaç tanesi 3 elemanlıdır ?
Çözüm: s(AxA) = 16 oldu.undan ve 16 elemanlı bir kümenin 3 elemanlı alt kümelerinin sayısı

Örnek 5: A={a,b,c,d} kümesi üzerinde tanımlanan . ={(a,a),(a,c),(b,c),(b,d),(c,d)} ba.ıntısını grafik ile gösteriniz :
Çözüm : Ba.ıntıların özellikleri :

1.
Yansıma özelli.i : Bir A kümesi üzerinde tanımlanan ba.ıntı , A kümesinin tüm elemanları için yazılabilecek (x,x) ikililerini içeriyorsa yansıyandır.

2.
Simetri özelli.i : Bir ba.ıntı, (x,y) ikilisini içerirken aynı anda (y,x) ikilisini de içeriyorsa simetriktir.

3.
Ters simetri özelli.i : Bir ba.ıntı, (x,y) ikilisini içerirken aynı anda (y,x) ikilisini de içermiyorsa ters simetriktir.

4.
Geçiİme özelli.i : Bir ba.ıntı, (x,y) ikilisini ve (y,z) ikilisini içerirken aynı anda (x,z) ikilisini de içeriyorsa geçiİkendir.

Ba.ıntı çeİitleri :
1.
Denklik ba.ıntısı : Bir ba.ıntı ; yansıma, simetri ve geçiİme özelliklerine sahipse o ba.ıntıya denklik ba.ıntısı denir.

2.
Sıralama ba.ıntısı : Bir ba.ıntı ; yansıma, ters simetri ve geçiİme özelliklerine sahipse o ba.ıntıya sıralama ba.ıntısı denir.
Örnek 6: A = {1,2,3,4} kümesi üzerinde tanımlanan . = {(1,1),(2,2),(1,2),(3,3),(4,4)} ba.ıntısının özelliklerini inceleyelim :

Çözüm :
A kümesinin tüm elemanları için (x,x) ikililerini içerdi.i için yansıyan,
(1,2) ikilisinin tersi olan (2,1) ikilisini içermedi.inden ters simetrik,
(1,1) ve (1,2) varken (1,2) ikilisini de oldu.undan geçiİkendir.
Bu 3 özelli.in sonucu olarak da sıralama ba.ıntısıdır.
Örnek 7: A = {1,2,3,4} kümesi üzerinde tanımlanan
. = {(1,1),(2,2),(1,2),(2,1),(3,3),(4,4)} ba.ıntısının özelliklerini inceleyelim :
Çözüm :
A kümesinin tüm elemanları için (x,x) ikililerini içerdi.i için yansıyan,
(1,2) ikilisinin tersi olan (2,1) ikilisini içerdi.inden simetrik,
(2,1) ve (1,2) varken (1,1) ve (2,2) ikilisini de oldu.undan geçiİkendir.
Bu 3 özelli.in sonucu olarak da denklik ba.ıntısıdır.
Örnek 8: A = {1,2,3,4} kümesi üzerinde tanımlanan
. = {(1,1),(2,2),(3,3),(4,4)} ba.ıntısının özelliklerini inceleyelim :
Çözüm : Yansıyan, simetrik, ters simetrik ve geçiİkendir.
Tüm özellikleri sa.lamasının sonucu olarak da hem denklik hem de sıralama ba.ıntısıdır.
Bir ba.ıntı aynı anda hem simetrik hem de ters simetrik olabilir.
Örnek 9: A = {1,2,3,4} kümesi üzerinde tanımlanan
. = {(1,1),(2,2),(1,2),(2,1),(1,3),(4,4)} ba.ıntısının özelliklerini inceleyelim :

Çözüm :
(3,3) ikilisini içermedi.i için yansıyan de.il ;
(1,3) ikilisinin tersi olmadı.ı için simetrik de.il ;
aynı anda hem (1,2) hem de (2,1) ikililerini içerdi.i için ters simetrik de.il ; (2,1) ve (1,3)

varken (2,3) olmadı.ından dolayı da geçiİken de.ildir.

Bir ba.ıntı aynı anda hem simetrik hem de ters simetrik olmayabilir.

Örnek 10: A = {1,2,3,4} kümesi üzerinde tanımlanan

. = {(1,1),(2,2),(1,2),(2,1)} ba.ıntısının özelliklerini inceleyelim :
Çözüm :
(3,3) ve (4,4) ikililerini içermedi.i için yansıyan de.il ;fakat simetrik ve geçiİkendir. . : A ® A ve s(A) = n olmak üzere

Tanımlanabilen simetrik ba.ıntı sayısı