FON KSİYON LAR

E.er ba.ıntı; tanım kümesinin her elemanını de.er kümesinin yalnız ve yalnız bir tek elemanına eİliyorsa o ba.ıntıya fonksiyon denir. Yani her ba.ıntı bir fonksiyon de.il ama her fonksiyon aynı zamanda bir ba.ıntıdır. Tanımı daha da açarsak:
Bir ba.ıntının fonksiyon olabilmesi için :
1.
Tanım kümesindeki her elemanının kullanılmıİ olması ;

2.
Tanım kümesindeki her elemanının yalnız bir de.erinin olması gerekmektedir.
için fonksiyon de.ildir.
Tanım kümesinde açıkta eleman kaldı.ı için fonksiyon de.ildir. f(2) = tanımsız.

Her iki İartı da sa.ladı.ı için fonksiyondur.
A’dan B’ye tanımlanan tüm fonksiyonların sayısı [s(B)]s(A) ile hesaplanır. A’dan B’ye tanımlanan bir fonksiyon f : A . B İeklinde gösterilebilir. x . A ve y. B olmak üzere f : x . y , y = f(x) İeklinde de ifade edilebilir.

f(2)=1 ve f(2)=2 oldu.undan yani 2
elemanının 1’den fazla de.eri oldu.u
Örnek 1: A={1,2,3} ve B={0,1,3,4,5,6} oldu.una göre A’dan B’ye yazılabilecek tüm
fonksiyonların sayısını bulun :
Çözüm: s(A) = 3 ve s(B) = 6 oldu.undan dolayı yazılabilecek tüm fonksiyonlar 63 =
216 tanedir.

Örnek 12: A={1,2,3} ve B={0,1,3,4,5,6} oldu.una göre y = f(x) = x+2 İeklinde ifade edilebilen fonksiyonu liste ve İema yöntemiyle gösterin : Çözüm: Verilen tanıma göre önce görüntü kümesinin elemanlarını hesaplayalım: f(1)= 3 ; f(2)= 4 ; f(3)= 5 oldu.undan f (A) = {3,4,5} olur. Venn İeması ile gösterimi ise İöyledir :

Örnek 3: A={-1,0,1,2} ve B={0,1,2,3,4,5} oldu.una göre y = f(x) = x2+1 İeklinde ifade edilebilen fonksiyonu liste ve grafik yöntemiyle gösterelim: Çözüm: f(-1) = 2 ; f (0) = 1 ; f(1) = 2 ;
f(2) = 5 oldu.una göre : f(A) = {1,2,5} olur. Fonksiyonun grafik ile gösterimi ise İöyledir :
Örnek 4: Yanda grafi.i verilen tamsayılarda tanımlanmıİ fonksiyonun tanım, görüntü ve de.er kümelerini bulunuz :

Çözüm: Tanım kümesi yatay eksen üzerindeki tamsayı elemanlardan, de.er kümesi ise düİey eksen üzerindeki tamsayı elemanlardan oluİur. Görüntü kümesinin elemanlarını bulmak için grafi.i incelemek ve kapalı e.ri tarafından sınırlanan noktalara karİılık gelen düİey eksen de.erlerini almak gerekir.
Tanım kümesi = A = {-1,0,1,2,3 }
De.er kümesi = B = {0,1,2,3,4,5 }
Görüntü kümesi = f(A) = {1,2,4,5 }
Örnek 5: Aİa.ıda grafi.i verilen gerçek sayılarda tanımlanmıİ fonksiyonun tanım , görüntü ve de.er kümelerini bulunuz :

Çözüm:Tanım kümesi = [-1,7] ; De.er kümesi = [-5,8] ; Görüntü kümesi = [-5,8] .
Görüntü kümesi , de.er kümesine eİit veya onun alt kümesi olabilir.
Örnek 6: Aİa.ıda gerçek sayılarda tanımlanmıİ olan ba.ıntı fonksiyon mudur ?

Çözüm: Tanım kümesi üzerindeki tüm de.erlerin yalnız ve yalnız bir karİılı.ı var oldu.una göre fonksiyon olmanın iki İartını da sa.lıyor.
Aynı soruya farklı bir yaklaİım da y eksenine paralel çizilebilinen tüm do.rular düİünülür. Bunların herhangi bir tanesi dahi grafi.i 1’den fazla veya 1’den az noktada keserse o grafik fonksiyon olamaz.
Bu grafikte çizilen tüm do.rular yalnız ve yalnız bir noktada kesti.i için bir fonksiyondur.
Örnek 7: Aİa.ıda gerçek sayılarda tanımlanmıİ olan ba.ıntı fonksiyon mudur ?

Çözüm: Bu ba.ıntı , tanım kümesinin (-. ,-4) aralı.ındaki de.erlerinin görüntüsü olmadı.ı için fonksiyon de.ildir. Aynı zamanda [-4,. ) aralı.ındaki de.erlerinin de birden fazla görüntüsü oldu.u için fonksiyon de.ildir. Bu sebeplerin bir tanesi bile fonksiyon olmaması için yeterlidir.
Di.er yaklaİım ile düİünüldü.ünde (-. ,-4) aralı.ında y eksenine paralel çizilen do.rular grafi.i kesmiyor ki en az bir noktada kesmesi gerekirdi. Öte yandan [-4,. ) aralı.ında y eksenine paralel çizilen do.rular grafi.i iki noktada kesiyor ki en fazla bir noktada kesmesi gerekirdi.
Fonksiyon Türleri :
Ğçine Fonksiyon: E.er fonksiyonun görüntü kümesi, de.er kümesinin alt kümesi (de.er kümesinin bazı elemanlarının tanım kümesinde karİılı.ı yok) ise bu tür fonksiyonlara denir.
Örnek 8:

Örten Fonksiyon: E.er fonksiyonun görüntü kümesi , de.er kümesine eİit (de.er kümesinin tüm elemanlarının tanım kümesinde karİılı.ı var ) ise bu tür fonksiyonlara denir.
Örnek 9:

Bire-bir (1-1) Fonksiyon: E.er fonksiyonun görüntü kümesindeki her elemanın tanım kümesinde yalnız bir karİılı.ı varsa bu tür fonksiyonlara denir.

Örnek 10:
Sabit Fonksiyon: E.er fonksiyonun tanım kümesindeki her elemanın görüntü kümesindeki karİılı.ı hep aynı eleman oluyorsa bu tür fonksiyonlara denir.
Örnek 11:

Birim Fonksiyon: E.er fonksiyonun tanım kümesindeki her elemanın görüntü kümesindeki karİılı.ı yine kendisi oluyorsa bu tür fonksiyonlara denir.
Örnek 12:

Örnek 13: Birinci açıortay do.rusu ne tür bir fonksiyondur ?
Çözüm: y = x do.rusu olan birinci açıortay do.rusu hem 1-1; hem örten hem de birim fonksiyondur.
Örnek 14: Yandaki fonksiyon ne tür bir fonksiyondur ?
Çözüm: Görüntü kümesinin (-. ,-4) arasındaki de.erlerinin tanım kümesinde karİılı.ı olmadı.ı için içine fonksiyondur.

x eksenine paralel çizilen bazı do.rular grafi.i kesmiyorsa içine fonksiyondur.

Örnek 15: Aİa.ıdaki f : R . [-4,. ) ne tür bir fonksiyondur ?

Çözüm: Görüntü kümesinin tüm de.erlerinin tanım kümesinde karİılı.ı oldu.u için örten fonksiyondur.
Örnek 16: Aİa.ıdaki f : R . R ne tür bir fonksiyondur ?

Çözüm: Tanım kümesindeki her elemanın karİılı.ı yine kendisine eİit oldu.undan birim fonksiyondur. Aynı zamanda 1-1 ve örten fonksiyondur.
Örnek 17: Yandaki f : R . R ne tür bir fonksiyondur ?

Çözüm: Tanım kümesindeki her elemanın karİılı.ı hep aynı oldu.undan sabit fonksiyondur.

Örnek 18: Aİa.ıdaki fonksiyonlardan hangisi 1-1 fonksiyondur ?

Çözüm: x eksenine paralel çizilen do.rular yalnız bir tek noktada kesiyorsa 1-1; aksi takdirde 1-1 de.ildir. Bu nedenle ilk grafik 1-1 olmamasına karİılık ikinci grafik 1-1’dir.
s(A) = a ve s(B)=b olmak üzere :
1.
A’dan B’ye tanımlanan fonksiyon sayısı ba ;

2.
A’dan B’ye tanımlanan sabit fonksiyon sayısı b ;

3.
A’dan B’ye tanımlanan 1-1 fonksiyon sayısı P(b,a).
Örnek 19: A’dan B’ye 4 tanesi sabit olmak üzere 64 tane fonksiyon tanımlanabilmektedir. Buna göre A’dan B’ye tanımlanabilen 1-1 fonksiyon sayısı kaç tanedir ?
Çözüm: 4 tane sabit fonksiyon oldu.una göre s(B) = 4 ; toplam fonksiyon sayısı ise 64 = 43oldu.undan dolayı s(A) = 3’tür.
Buna göre 1-1 fonksiyon sayısı da

olur.
Örnek 20: A’dan A’ya 27 tane fonksiyon tanımlanabilmektedir. Buna göre A’dan A’ya kaç tane yansıyan ba.ıntı tanımlanabilir ?
Çözüm: 27 = 33 oldu.una göre s(A) = 3 ‘ tür.
Yansıyan ba.ıntı sayısı ise 29-3 = 26 = 64 olur.
Örnek 21: A’dan A’ya 221 tane simetrik ba.ıntı tanımlanabilmektedir. Buna göre A’dan A’ya kaç tane sabit fonksiyon tanımlanabilir ?
Çözüm:
oldu.una göre s(A) = 6 ‘ dır. Buna göre sabit fonksiyon sayısı 6 olur.

Permutasyon Fonksiyonu: Sonlu bir A kümesi üzerinde A’dan A’ya tanımlanan f fonksiyonuna permutasyon fonksiyonu denir.
Örnek 22:

s(A) = a olmak üzere :
A’dan A’ye tanımlanan 1-1 ve örten fonksiyon sayısı a!’dir.

Örnek 23: A kümesi üzerinde 24 tane 1-1 ve örten fonksiyon tanımlanabildi.ine göre
1-1 ve örten olmayan fonksiyon sayısı kaç tanedir ?
Çözüm: 24 = 4! oldu.undan s(A) =4 ‘ tür.
Dolayısıyla toplam fonksiyon sayısı 44 = 256 olur.
Bunların da 24 tanesi 1-1 ve örten oldu.undan geri kalan 256-24 = 232 tanesi 1-1 ve

örten de.ildir.

Örnek 24: A kümesi üzerinde 6 tane 1-1 ve örten fonksiyon tanımlanabildi.ine göre
A kümesi üzerinde tanımlanabilen ba.ıntıların kaç tanesi yansıyan de.ildir ?
Çözüm: 6 = 3! oldu.undan s(A) = 3 ‘ tür.
Dolayısıyla toplam ba.ıntı sayısı 29 olup bunların 26 tanesi yansıyandır. Geriye kalan

29 -26 =512-64 tanesi yansıyan de.ildir.
Örnek 25: Yanda grafi.i verilen f : A . B
fonksiyonunu permutasyon fonksiyonu
formunda yazalım .
Çözüm: f (1) = 3 ;
f (2) = 1 ;
f (3) = 2 oldu.undan f fonksiyonu
İeklinde yazılabilir.

Tek ve Çift Fonksiyonlar :
Tanımlı olan tüm x de.erleri için f (-x) = -f (x) oluyorsa tek ;
f (-x) = f (x) oluyorsa çift fonksiyon denir.
Di.er bir deyiİle baİlangıç noktasına (0,0) göre simetrik fonksiyonlar tek; y eksine

göre simetrik fonksiyonlar çift fonksiyondur.
Örnek 26: f(x) = sinx +3x -x3 fonksiyonu tek mi çift midir ?
Çözüm: f (-x) = sin (-x) + 3(-x) -(-x)3

= -sinx -3x +x3
= -(sinx +3x -x3)
= -f(x) oldu.undan tek fonksiyondur.

Örnek 27: f(x) = x2 + 4 -cosx fonksiyonu tek mi çift midir ?
Çözüm:f(-x) = (-x)2 + 4 -cos(-x) = x2 + 4 -cosx = f(x) oldu.undan çift fonksiyondur.
Örnek 28: f(x) = x2 + x3 -3 fonksiyonu tek mi çift midir ? Çözüm: f(-x) = (-x)2 + (-x)3 -3
2
= x-x3-3 oldu.undan ne tek ne de çift fonksiyondur.

Örnek 29: f(x) = 0 fonksiyonu tek mi çift midir ?
Çözüm : f (-x) = f(x) = -f(x) = 0 oldu.undan fonksiyon hem tek hem de çifttir.
Di.er bir deyiİle f(x)=0 fonksiyonu yani x ekseni hem baİlangıç noktası hem de y

eksenine göre simetriktir.

Örnek 30: 2f(x) -x -2 = f(-x) fonksiyonu çift oldu.una göre f (x) fonksiyonunu
bulunuz.
Çözüm: Çift fonksiyon oldu.undan f(x) = f(-x) olur. Dolayısıyla 2f(x) -x -2 = f(x)

olaca.ından f(x) = x+2 olur.
Periyodik Fonksiyonlar:
E.er bir f(x) fonksiyonunda f(x) = f(x+t) olacak İekilde bir t gerçek sayısı bulunuyorsa
f(x) fonksiyonu periyodiktir.
Buradaki t sayısına da o fonksiyonun periyodu denir.
Di.er bir deyiİle periyodu t olan bir fonksiyonda

f(x+t)= f(x) ==> (x+t)-x = t olur. Örnek 31: f(x) = g( 2x+3 ) ile tanımlı iki periyodik fonksiyondan g(x) fonksiyonunun periyodu 5’tir. Buna göre f(x) fonksiyonunun periyodu nedir ?
Çözüm: f (x) fonksiyonunun periyoduna t dersek f(x+t) = f(x) olmalıdır.

Dolayısı ile g(2x+2t +3) = g(2x+3) ve ( 2x+2t +3) -( 2x+3) = 5 olmalıdır. Çünkü g(x)
fonksiyonunun periyodu 5.
Buradan t = 5/2 bulunur.
f (x) fonksiyonunun periyodu t ise

f (ax+b) fonksiyonunun periyodu olur.

Buna göre g (x) fonksiyonu için t=5 oldu.una göre
g ( 2x+3) fonksiyonunun periyodu da 5/2’dir de diyebilirdik.

f(x) ve g(x) gibi iki fonksiyonunun periyotları t1 ve t2 ise bu iki fonksiyonun toplam veya farklarının periyotları OKEK(t1,t2) olur. Çarpım veya bölümlerinin periyotları ise bu fonksiyonları toplam veya fark formuna çevirerek bulunur.
Örnek 32: f(x) fonksiyonunun periyodu 3,
g(x) fonksiyonunun periyodu 4 ise
h(x) = f (3x+5)-g(2x+7) fonksiyonunun periyodu nedir ?
Çözüm: f (3x+5) fonksiyonunun periyodu 3/3 = 1 ve g(2x+7) fonksiyonunun periyodu

4/2 = 2 oldu.undan h(x) fonksiyonunun periyodu OKEK(1,2) = 2 olur.
Trigonometrik fonksiyonlardan
sin x ve cos x fonksiyonlarının periyotları 2. ;
tanx ve cotx fonksiyonlarının periyotları ise . ‘dir.
Örnek 33: f (x) = cos(2x-3) + sin (4x-5) ise f(x) fonksiyonunun periyodu nedir ?

Çözüm: cos(2x-3) fonksiyonunun periyodu

ve
sin (4x-5) fonksiyonunun periyodu
oldu.undan f (x) fonksiyonunun periyodu ikisinin OKEK’i olan . ‘ dir. Örnek 34: f (x) = 6sin5xcos3x -5 fonksiyonunun periyodu nedir ?

Çözüm : Ters dönüİüm formullerinden yararlanarak buluruz.
Dolayısıyla f (x) = 3sin 8x +3sin 2x -5 olaca.ından ;
sin 8x fonksiyonunun periyodu

sin 2x fonksiyonunun periyodu ise
olur.
f (x) fonksiyonunun periyodu da OKEK (

olur.

Örnek 35: f(x) = 3sin25x +2 fonksiyonunun periyodu nedir ? Çözüm: cos 2x = 1-2sin2x oldu.undan

olur.
Bu nedenle

f(x) fonksiyonu da

olaca.ından periyodu da

bulunur.

k
Sinax ve coskax fonksiyonlarının periyotları k sayısı çift ise
k sayısı tek ise
;
tankax ve cotkax fonksiyonlarının periyotları

k sayısı ne olursa olsun

Buna göre aynı soru k =2 oldu.undan bu bilgileri kullanarak
’ dir de diyebiliriz .
Fonksiyonların toplamı,farkı, çarpımı,bölümü :
f (x) ve g (x) fonksiyonları için
h (x) = ( f + g ) (x) = f (x) + g (x) fonksiyonuna toplam fonksiyonu ;
h (x) = ( f -g ) (x) = f (x) -g (x) fonksiyonuna fark fonksiyonu ;
h (x) = ( f . g ) (x) = f (x) . g (x) fonksiyonuna çarpım fonksiyonu ;
h (x) = ( f / g ) (x) = f (x) / g (x) fonksiyonuna bölüm fonksiyonu denir.
Burada dikkat edilmesi gereken noktalardan birincisi h (x) fonksiyonunun tanım

kümesi f ve g fonksiyonlarının tanım kümelerinin kesiİim kümesidir , ikincisi ise fonksiyonlar üzerinde tanımlanan iİlemler fonksiyonların görüntü kümeleri üzerinde yapılacaktır.

Örnek 36: f (x) = 3x+5 fonksiyonu için tanım kümesi A={-1,1,2,3} ve g(x)=2x-3 fonksiyonu için tanım kümesi B={-1,2,3,4} oldu.una göre h(x)=(f+g)(x) fonksiyonunun tanım ve de.er kümelerini bulunuz.
Çözüm: Tanım kümesi = A . B = {-1,2,3} olur. h (x) = (3x+5) + (2x-3) = 5x+2 oldu.undan h (-1) = -3 h ( 2) = 12 h (3) = 17 olur ve de.er kümesi de G = {-3,12,17} İeklinde bulunur. Örnek 47: f : A . B , f (x) = {(1,2),(2,3),(3,4)} ve
g : C . D , C = {1,2,3} ,g (x) = x+1 oldu.una göre
h (x) = 2f(x)+3g(x) fonksiyonunun de.er kümesini bulunuz .
Çözüm: Fonksiyonlar incelendi.inde eİit fonksiyon oldukları görülmektedir. Dolayısı

ile h (x) = 5f (x) diye düİünülebilir.
h (1) = 5f (1) = 10 ;
h (2) = 5f (2) = 15 ;
h (3) = 5f (3) = 20 oldu.undan de.er kümesi ={10,15,20} olarak bulunur.

TERS FONKSĞYON
f fonksiyonu bire bir ve örten ise, f nin tersi olan fœ1de fonksiyondur.
ullarda, f((Ú
. Uygun koİa)=b › f œ 1b)=a dr.
. f :IR, f()=ax+ b ise, f œ 1x
R. Ix()=
dr.
Ú

f œ 1)œ 1
. (=f dir. fœ 1)
œ 1. f(. ((
xx)tir. x()in belirtti.i e.ri y =x
. y =f()in belirtti.i e.ri ile y =f œ 1xdo.rusuna göre simetriktir.
. B . I
Rolmak üzere,

. B . I
Rolmak üzere,
BĞLEğKE FO N KSĞYO N 1.TanÚ
m
f :A. B
g:B . C olmak üzere, gof :A. Cfonksiyonuna f ile gnin bileİ
ke fonksiyonu denir ve gbileİ
ke f diye okunur.
(gof)(x)=g[f(x)] tir.

2.Bieİke Fonksikl
lyonun Ö zel
ieri ) Bileİİm e özel
i
ike iİleminin de.i.iyoktur. fog. gof in fog=gof olabilir.Fakat bu bileİme
BazÚfonksiyonlar içke iİleminin de.iİözelli.i olmad.nÚe.iİ
ÚÚdtirmez.
ke iİleminin bieİm e özel
iÚ

i
)Bileİrl.ivardr. gfog)fo(oh)= (oh= fogoh i
) foI=I
of =f ()= xfonksiyonu bileİleminin birim (
oldu.undan Ixke iİetkisiz) elemanÚÚ
dr. v) fof œ 1=fœ 1
iof =I ke iİ
oldu.undan f nin bileİlemine göre tersi f œ 1dir. œ 1of œ 1d
v) (
fog)œ 1=g ir.