BÖLÜ N EBİLM E

A| B A : Bölünen
|¯ C¯ B : Bölen
¯ K¯ C : Bölüm
K : Kalan

1) A = B.C + K
2) K < B
3) K = 0 ise A, B’ye tam bölünür.
4) K < C ise B ile C yer de.iİtirebilir.
ÖRNEK : 16’ya bölündü.ünde bölüm m, kalan m2 olan en büyük do.al sayıyı

bulunuz? ÇÖZÜM : x | 16 x = 16m+m2 oldu.undan |¯ m¯ m’yi ne kadar büyük tutarsak
¯ m2¯ x o kadar büyük olur. Ama unutmayalım ki; m2<16 olmalı. m en çok 3 olur. x = 16m+m2 =16.3 + 32 = 57
BÖLÜNEBĞLME KURALLARI
2 .LE Í Sonu {0,2,4,6,8} olmalı 3 .LE Í Rakamları toplamı 3 veya 3’ün katı olmalı 4 .LE Í Son iki rakamı 4’e bölünebilmeli 5 .LE Í Sonu {0,5} olmalı 6 .LE Í Hem 2’ye hem 3’e bölünebilmeli

7 .LE Í Sa.dan sola 3’lü gruplar olu.turulup, herbir rakam sırasıyla 1,3,2 ile (sa.dan sola) çarpılarak, ilk grup (+), 2.grup (-), 3.grup (+) ,........ alınarak sonuç bulunur.
8 .LE Í Son 3 rakam 8’e bölünebilmeli
9 .LE Í Rakamları toplamı 9 veya 9’un katı olmalı
10 .LEÍ Sonu {0} olmalı
11 .LEÍ Sa.dan sola +, -, + , -, ....... konulur, toplanır.

SORU : 3’e bölünebilme kuralını ispatlayınız.
ÇÖZÜM : Bir (abcd) sayısı alalım. (abcd) = 1000a + 100b + 10c + d
= 999a + a +99b + b + 9c + c + d 999a, 99b ve 9c sayıları 3’ün bir katı oldu.undan 3’e tam bölünürler ve dolayısıyla kalanları 0 olur. a+b+c+d toplamının 3’e bölümünden kalan ne ise cevap o olur.
SORU : 7’ye bölünebilme kuralını ispatlayınız.
ÇÖZÜM : Bir (abc) sayısı alalım.
(abc) = 100a + 10b + c
= 98a + 2a + 7b + 3b + c Yani son rakamı 1 ile,sondan ikinci rakamı 3 ile, sondan üçüncü rakamı 2 ile çarpmalıymı.ız. Peki sayı 3 basamaktan fazla basamaklı olursa, ne yapmamız gerekti.ini yukarıda yazdım.Bunu ispatlayabilirmisiniz?
SORU : 11’e bölünebilme kuralını ispatlayınız?
ÇÖZÜM : Bir (abcde) sayısı alalım.
(abcde) = 10000a + 1000b + 100c + 10d + e = 9999a + a +1001b – b + 99c + c + 11d – d + e = a – b + c – d + e
Yani sa.dan sola bir (+), bir (-) ile çarpıp,toplamalıyız.

KURAL : n tabanındaki sayıların (n+1)’e bölünüp bölünemediklerini de
yukarıdaki gibi inceleriz.
n tabanındaki sayıların (n-1)’e bölünebilme kurallarıda
sayının rakamları toplamının (n-1)’e bölümünden elde edilen kalandır.
Bu iki kuralıda ispatlamaya çalı.ın, faydalı olur.

SORU : (23413)5 sayısının 4’e ve 6’ya bölümlerinden elde edilen kalanları
bulunuz?

ÇÖZÜM : 4’e bölümünden kalan :

2+3+4+1+3=13 Í 13’ü 4’e böldü.ünüzde kalan 1’dir.
6’ya bölümünden kalan : +3-1+4-3+2 = 5Íkalan 5’tir.

SORU : Be. basamaklı baa4b sayısı 5 ile bölündü.ünde kalan a dır. Bu sayı 4 ile
de tam bölünebildi.ine göre, a’nın alabilece.i de.erlerin toplamı kaçtır?

ÇÖZÜM : 4 ile tam bölünüyorsa, sayının son iki rakamı 4’e tam bölünebilmeli
yani 40,44 veya 48 olmalı.
b=0 için sayı 5 basamaklı olmaz.
b=4 için a=4 olur.b=8 için a=3 olur. a+b=4+3=7

SORU : 2a67a sayısı 3’e bölündü.ünde 2 kalanını veren bir çift sayı ise yirmi
basamaklı aaaaaaaaaaaaaaaaaaaa sayısının 9’a bölümünden kalan kaçtır?

ÇÖZÜM : 2+a+6+7+a = 3k+2 2a+15 = 3k+2 Í 2a+13 = 3k (k . Z) Buradan a sayısı 1,4,7 olabilir.Verilen sayı çift oldu.undan a=4 tür. 20 tane 4 =
20.4 = 80/9 =kalan 8